密码学中的数学基础（二）图论及其著名的哥尼斯堡七桥问题

本文首发于 2017-11-14 19:07 原地址：http://www.blockchainbrother.com/article/112

区块链当中一个重要分支就是密码学。而密码学当中涉及到相当的数学知识。密码学和数学的关系可谓深之又深，甚至可以说信息安全的很大基石就是数学（密码学是信息安全中的一部分）。图论（Graph Theory）是数学的一个分支，属于应用数学，其以图为研究对象。

区块链当中一个重要分支就是密码学。而密码学当中涉及到相当的数学知识，比如：数论、初等数学、代数学、组合数学以及概率论等。若没有一点数学基础的话，密码学的研究将是进行不通的。密码学和数学的关系可谓深之又深，甚至可以说信息安全的很大基石就是数学（密码学是信息安全中的一部分）。学习和掌握一些数学知识是必要的，在此我主要分享一些有关于密码学的数学知识。

图论（Graph Theory）是数学的一个分支，属于应用数学，其以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定的关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。图论的概念和结果来源非常广泛，既有来自生产实践的问题，也有来自理论研究的问题。历史上参与研究图论问题的人既有著名的数学家也有普通的业余爱好者。

谈到图论不得不提的就是著名的哥尼斯堡七桥问题。在贯穿古普鲁士哥尼斯堡城的普瑞格尔河上有七座桥连接两岸及河中的两个小岛，当地居民都很喜欢去岛上游玩，但有一个问题困扰着当地居民了很长的时间。在1736年，该市的一位市民向大数学家欧拉（Euler）提出了此问题。该问题是，从家里出发，七座桥每座桥都恰好通过一次，然后再回到家里，是否可以办到。事实上，当地居民以前曾反反复复试验了多次，不论怎么样行走，都不能成功的实现每座桥恰好只经过一次，但却没有人严格证明过。

哥尼斯堡七桥问题

欧拉将两岸分别用B和C两点进行表示，两岛分别用A和D来表示，A、B、C、D各点的位置并不重要，仅当两块陆地之间有桥时，把每座桥用连接对应点的一条边代替，每条边的曲直长短也不重要，于是欧拉将上图的实际场景抽象为下图，并且将此图形称为图（graph）。

抽象后的哥尼斯堡七桥问题

为了解决这个具体的问题，欧拉提出了判定一般图存在这种走法的充要条件，并给出了必要性证明，开创了图论（一维拓扑）的研究。这个结果发表于1736年，其把问题归结为一笔画问题，证明了从家里出发，七座桥每座桥都恰好通过一次，然后再回到家里，是不可以办到的。此论文被公认为第一篇图论文章，欧拉本人也被尊崇为图论和拓扑学之父。欧拉在解决此问题的同时给出了连通图可以一笔画的充要条件是：奇点的数目不是0个就是2个（连接到一点的数目如果是奇数条，就称为奇点，如果是偶数条就称为偶点，要想一笔画成必须中间点均是偶点，也就是说来去必须有对应，奇点只可能在两端，因此任何图如果要一笔画成，奇点要么没有要么在两端）

当时的数学界起初并未对欧拉解决七桥问题的意义有足够的认识，甚至有些人仅仅当其为一个数学游戏。图论诞生后并未及时获得足够的发展，直到200年后的1936年，匈牙利数学家科尼希出版了《有限图与无限图理论》，此为图论的第一部专著，其总结了图论200年的成果，是图论发展的第一座里程碑。此后，图论进入发展与突破的阶段，又经过了半个多世纪的发展，现已成长为数学科学的一个独立的重要学科。而且其分支很多，例如图论、算法图论、极值图论、代数图论、随机数图论、模糊图论、超图论等。特别值得一说的是，由于现代科学尤其是大型计算机的迅猛发展，使得图论大有用武之地，无论是数学、物理、化学、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、经济乃至社会科学的众多问题，都可以应用图论方法予以解决。当然，图论也是计算机科学最重要的基础之一。

注：一笔画

       1）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以将任意一偶点作为起点，最后一定可以以此点为终点画完此图。

       2）凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须将一个奇点作为起点，而另一个奇点将为终点。

3）其它情况的图都不能一笔画出。//奇点数除以二便可以算出此图需要几笔才能画成。

注：欧拉通过对七桥问题的研究，不仅解决了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们将之称为欧拉定理。对于一个连通图，通常把某点出发        一笔画所经过的路线叫欧拉路，同时将一笔画成又回到出发点的欧拉路称为欧拉回路，而具有欧拉回路的图被称为欧拉图。

于中阳 Mercina-zy