威尔逊定理及其证明

威尔逊定理及其证明

一.什么是威尔逊定理

​ 威尔逊定理是指对于一个质数P来说，有
\[ (p-1)^2\equiv-1(mod\;p) \]
且对于这个定理成立的数一定是质数，即“p为质数”和威尔逊定理互为充分必要条件。于是通过这个性质我们可以构造一下质数分布的函数曲线（结合sin函数的性质）
\[ f(n)=sin(\pi*((n-1)!+1)/n) \]
当函数值为0时，就可以得出一个质数（是不是很鸡肋）。

由于充分必要条件我们当然也可以用这个来判断质数，不过不好用就对了。

二.证明威尔逊定理

首先我们将等式两边同时除以一个-1（-1必然与p互质），接下来要证明
\[ (p-2)^2\equiv1(mod\;p) \]
对这个东西完全没有头绪呢~，那么考虑一下比较简单的情况。
\[ ax\equiv1(mod\;p) \]
这个东西就很简单，当x是a的逆元就好。再回到威尔逊定理，很显然，对于p=2的时候，威尔逊定理成立。那么除了2以外的质数应该全是奇数，p-2也应该全是奇数才对。又有1的逆元是1，所以把1踢出去，也就是说剩下的偶数个数的数如果可以两两对应，乘积mod p=1威尔逊定理就整出来了。

那么很显然的，对于a，他的逆元\(a^{-1}\)，是一定可以在2~p-2范围里的（p-1是p-1的逆元），很显然，除了1和p-1没有哪个憨憨数字自己是自己的逆元。（可以打表一试）

那么现在只有一个问题了，逆元是不是双射关系呢~，答案是当然的。（因为逆元相当于是在模意义下倒数，又限制了只能取2~p-1，一个数的逆元在这个条件下就肯定只有一个，并且形成双射关系。）因为定义是这么写的。

（摘自360百科）

三.一句话证明

逆元的性质决定了一个数和它的逆元一一对应，2~p-2之间必然被\(\frac{p-1}{2}\)个互为逆元的数对完全覆盖，1的逆元是1，故威尔逊定理成立。