数理逻辑
传统逻辑与数理逻辑。
逻辑一词源于希腊文，意思指：词、思想、理性、规律等。逻辑学研究的是：判别一个推理过程是否正确的标准。数理逻辑也叫符号逻辑，即用人工符号来书写逻辑法则，它是一门涉及数学、逻辑学、哲学等几门学科的横向交叉学科。传统逻辑用以表示命题形式和推理形式的是自然语言的某些词语，而自然语言是多义的，不适于用以精确地表示各种命题形式和推理形式。数理逻辑克服了这方面的局限性，以其特有的人工符号来书写逻辑法则，突出体现了方便、精确的优势。
数理逻辑是用数学方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科，它与数学的其它分支、计算机科学、人工智能、语言学等学科均有密切的联系。命题逻辑和一阶谓词逻辑是数理逻辑中最成熟的部分，在计算机科学中应用最为广泛，其中命题逻辑是数理逻辑的最基础部分，谓词逻辑是在它的基础上发展起来的。
逻辑一词源于希腊文，意思指：词、思想、理性、规律等。逻辑学研究的是：判别一个推理过程是否正确的标准。数理逻辑也叫符号逻辑，即用人工符号来书写逻辑法则，它是一门涉及数学、逻辑学、哲学等几门学科的横向交叉学科。传统逻辑用以表示命题形式和推理形式的是自然语言的某些词语，而自然语言是多义的，不适于用以精确地表示各种命题形式和推理形式。数理逻辑克服了这方面的局限性，以其特有的人工符号来书写逻辑法则，突出体现了方便、精确的优势。
数理逻辑是用数学方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科，它与数学的其它分支、计算机科学、人工智能、语言学等学科均有密切的联系。命题逻辑和一阶谓词逻辑是数理逻辑中最成熟的部分，在计算机科学中应用最为广泛，其中命题逻辑是数理逻辑的最基础部分，谓词逻辑是在它的基础上发展起来的。
一、命题的概念。
命题：能判断真假的陈述句。
命题：能判断真假的陈述句。
例1、判断下列句子中哪些是命题。
(１) 北京是中国的首都。
(２) 雪是黑色的。
(３) 3×4＝12。
(４) 请把门关上！
(５) ｘ是有理数。
(６) 地球外的星球上也有人。
(７) 明天有课吗？
(８) 本语句是假的。
(９) 小明和小林都是三好生。
(10) 小明和小林是好朋友。
解：(1)、(2)、(3)、(6)、(9)、(10)是命题，(4)、(5)、(7)、(8)不是命题。
判断一个语句是否为命题，首先看是否为陈述句，再看其真值是否唯一。
注意："能判断真假"并不同于"已知真假"。
命题常项，命题变项均用 表示。
(１) 北京是中国的首都。
(２) 雪是黑色的。
(３) 3×4＝12。
(４) 请把门关上！
(５) ｘ是有理数。
(６) 地球外的星球上也有人。
(７) 明天有课吗？
(８) 本语句是假的。
(９) 小明和小林都是三好生。
(10) 小明和小林是好朋友。
解：(1)、(2)、(3)、(6)、(9)、(10)是命题，(4)、(5)、(7)、(8)不是命题。
判断一个语句是否为命题，首先看是否为陈述句，再看其真值是否唯一。
注意："能判断真假"并不同于"已知真假"。
命题常项，命题变项均用 表示。
二、逻辑联结词。
常用的联结词有 这五种
1、"非 ｐ"称为 ｐ的否定式，记作 ｐ
真值表：
例如： ｐ：11是素数； ｐ：11不是素数
ｐ取值1， ｐ取值0。
2、" ｐ并且 ｑ"称为 ｐ， ｑ的合取式，记作 ｐ∧ ｑ。
真值表：
在例1.(9)中， ｐ：小明是三好生， ｑ：小林是三好生
则小明和小林是三好生表示为 ｐ∧ ｑ。
例2、设 ｐ：李平聪明， ｑ：李平用功。
(1) 李平既聪明又用功。 ………… ｐ∧ ｑ
(2) 李平虽然聪明，但不用功。 ………… ｐ∧ ｑ
(3) 李平不但聪明，而且用功。 ………… ｐ∧ ｑ
(4) 李平不是不聪明，而是不用功。 ………… （ ｐ）∧ ｑ
3、" ｐ或者 ｑ"称 ｐ， ｑ的析取式，记作 ｐ∨ ｑ。
真值表：
例如， ｐ：小明学过英语， ｑ：小明学过日语，
则小明学过英语或日语可表示为 ｐ∨ ｑ
注意： ｐ∨ ｑ是相容的或，允许 ｐ， ｑ同真，即小明可能既学过英语又学过日语。（不相容的或，也称排斥或，记作 ｐ ｑ，指 ｐ， ｑ中恰有一个成立。如：小明学过英语或日语中的一门， ｐ ｑ等值于（ ｐ∧ ｑ）∨（ ｐ∧ ｑ）)
4、"如果 ｐ那么 ｑ"称 ｐ， ｑ的蕴涵式，记作 ｐ ｑ
其中 ｐ为前件， ｑ为后件。
真值表：
为了对蕴涵式真值表有所了解，请看下例。
例3、一位父亲对儿子说："如果我去书店，就一定给你买本《儿童画报》。"问：什么情况下父亲食言？
解：可能情况有四种：
(1) 父亲去了书店，给儿子买了《儿童画报》。
(2) 父亲去了书店，却没给儿子买《儿童画报》。
(3) 父亲没去书店，却给儿子买了《儿童画报》。
(4) 父亲没去书店，也没给儿子买《儿童画报》。
显然，(1)、(4)父亲没有食言，(3)与父亲的许诺没有抵触，当然也没有食言，只有(2)算食言，而这种情况正好对应蕴涵式为假的"前件真后件假"的条件。
例4、 ｐ：天下雨， ｑ：我骑车上班。
(1) 如果天不下雨，我就骑车上班。 ………… ｐ ｑ
(2) 只要天不下雨，我就骑车上班。 ………… ｐ ｑ
(3) 只有天不下雨，我才骑车上班。 ………… ｑ ｐ(或 ｐ ｑ )
(4) 除非天下雨，否则我就骑车上班。 ………… ｐ ｑ
(5) 如果天下雨，我就不骑车上班。 ………… ｐ ｑ
5、" ｐ当且仅当 ｑ"称 ｐ， ｑ的等价式，记作 ｐ ｑ。
真值表：
例5、 ｐ：２＋２＝４， ｑ：3是奇数
(1) 当且仅当3是奇数。 ………… ｐ ｑ
(2) 当且仅当3不是奇数。 ………… ｐ ｑ
(3) 当且仅当3是奇数。 ………… ｐ ｑ
(4) 当且仅当3不是奇数。 ………… ｐ ｑ
再考虑其真值表，因为 ｐ真， ｑ真，所以 ｐ ｑ， ｐ ｑ取值1， ｐ ｑ， ｐ ｑ取值0。
6、逻辑联结词与自然语言中联结词的关系。
否定--不是，没有，非，不。
合取--并且，同时，和，既…又…，不但…而且…，虽然…但是…。
析取--或者，或许，可能。
蕴涵--若…则…，假如…那么…，既然…那就…，倘若…就…。
等价--当且仅当，充分必要，相同，一样。
在例1中，(9)小明和小林都是三好生，(10)小明和小林是好朋友，两个命题都有"和"，但意思不同，在(9)中"和"表示合取(记 ｐ∧ ｑ)，而在(10)中"和"不是合取，整个语句是简单命题，记为 ｐ。
7、运算顺序
逻辑联结词也称逻辑运算符，规定优先级的顺序为 ，若有括号时，先进行括号内运算。
例如： ｐ （ ｑ∨ ｐ）∧（ ｑ∨ ｒ） ｑ
先运算 ｐ， ｑ，接着是 ｑ∨ ｐ和 ｑ∨ ｒ，然后是（ ｑ∨ ｐ）∧（ ｑ∨ ｒ），接着是" "的运算，最后是" "的运算。
三、命题符号化。
步骤：
(1) 找出各简单命题，分别符号化。
(2) 找出各联结词，把简单命题逐个联结起来。
例6、将下列命题符号化。
(1) 小王是游泳冠军或百米赛跑冠军。
设 ｐ：小王是游泳冠军， ｑ：小王是百米赛跑冠军。
原语句化为 ｐ∨ ｑ。
(2) 小王现在在宿舍或在图书馆。
设 ｐ：小王在宿舍， ｑ：小王在图书馆。
原语句化为 ｐ∨ ｑ。
(3) 选小王或小李中的一人当班长。
设 ｐ：选小王当班长， ｑ：选小李当班长。
原语句化为（ ｐ∧ ｑ）∨（ ｐ∧ ｑ）。
(4) 如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。
设 ｐ：我上街， ｑ：我去书店看看， ｒ：我很累。
原语句化为 ｒ （ ｐ ｑ）［或（ ｒ∧ ｐ） ｑ］。
(5) 小丽是计算机系的学生，她生于1982或1983年，她是三好生。
设 ｐ：小丽是计算机系的学生， ｑ：小丽生于1982年， ｒ：小丽生于1983年， Ｓ：小丽是三好生
原语句化为 ｐ∧（ ｑ∨ ｒ）∧ Ｓ。
四、两命题公式间的等值关系。
1、定义：
设Ａ，Ｂ为两命题公式， 若等值式Ａ Ｂ是重言式，则称Ａ与Ｂ是 等值的，记作 ＡＢ。
2、判定。
判断两公式Ａ，Ｂ是否等值，即判断Ａ Ｂ是否重言式，可用真值表的办法，看Ａ Ｂ的真值表的最后一列是否全为1，或者看Ａ，Ｂ真值表中的值是否完全相同。
例7、判断Ａ，Ｂ两公式是否等值。
(1)Ａ＝ （ ｐ∨ ｑ），Ｂ＝ ｐ∨ ｑ
(2)Ａ＝ ｐ ｑ，Ｂ＝（ ｐ ｑ）∧（ ｑ ｐ）
解：
(1) 作真值表如下：
表 1
(2) 作真值表如下：
表 ２
以上表1中的第三列与最后一列不完全相同，所以Ａ，Ｂ不等值；
以上表2中的第二列与最后一列完全相同，所以Ａ Ｂ。
五、重要等值式。
１、交换律Ａ∨Ｂ Ｂ∨Ａ，Ａ∧Ｂ Ｂ∧Ａ
２、结合律（Ａ∨Ｂ)∨Ｃ Ａ∨(Ｂ∨Ｃ)，(Ａ∧Ｂ)∧Ｃ Ａ∧(Ｂ∧Ｃ)
３、分配律Ａ∨（Ｂ∧Ｃ） （Ａ∨Ｂ）∧（Ａ∨Ｃ）
Ａ∧（Ｂ∨Ｃ） （Ａ∧Ｂ）∨（Ａ∧Ｃ）
４、德－摩根律 （Ａ∨Ｂ） Ａ∧ Ｂ， （Ａ∧Ｂ） Ａ∨ Ｂ
５、等幂律Ａ∨Ａ Ａ，Ａ∧Ａ Ａ
６、吸收律Ａ∨（Ａ∧Ｂ） Ａ，Ａ∧（Ａ∨Ｂ） Ａ
７、零律Ａ∨１ １，Ａ∧０ ０
８、同一律Ａ∨０ Ａ，Ａ∧１ Ａ
９、互否律Ａ∨ Ａ １(排中律)，Ａ∧ Ａ ０(矛盾律)
10、双重否定律 （ Ａ） Ａ
11、蕴涵等值式Ａ Ｂ Ａ∨Ｂ
12、等价等值式Ａ Ｂ （Ａ Ｂ）∧（Ｂ Ａ）
13、假言易位Ａ Ｂ Ｂ Ａ
14、等价否定等值式Ａ Ｂ Ａ Ｂ
15、归谬论（Ａ Ｂ）∧（Ａ Ｂ） Ａ
以上15组共24条重要等值式，在等值演算中经常要用到，应该记住它们，并能熟练运用。其中Ａ，Ｂ，Ｃ表示任意的命题公式。以上每条都可用真值表检验，如例1.(2)验证了第14条。
六、等值演算。
置换定理：如果Ａ Ｂ，则 （Ａ） （Ｂ）。
根据置换定理及24条等值式就可进行等值演算。
例8、验证下列等值式。
(1) ｐ （ ｑ ｒ） （ ｐ∧ ｑ） ｒ
(2) ［ ｐ∧（ ｑ∧ ｒ）］∨［ ｐ∧（ ｑ∧ ｒ）］ ｑ∧ ｒ
(3) ｑ∨ ［（ ｐ∨ ｑ）∧ ｐ］ １
解：(1) ｐ （ ｑ ｒ）
ｐ （ ｑ∨ ｒ)蕴涵等值式
ｐ∨（ ｑ∨ ｒ）蕴涵等值式
（ ｐ∨ ｑ）∨ ｒ结合律
（ ｐ∧ ｑ）∨ ｒ德-摩根律
(2)［ ｐ∧（ ｑ∧ ｒ）］∨［ ｐ∧（ ｑ∧ ｒ）］
［（ ｑ∧ ｒ)∧ ｐ］∨［（ ｑ∧ ｒ)∧ ｐ］ 交换律
（ ｑ∧ ｒ）∧( ｐ∨ ｐ) 分配律
（ ｑ∧ ｒ）∧１排中律
ｑ∧ ｒ同一律
(3) ｑ∨ ［（ ｐ∨ ｑ）∧ ｐ］
ｑ∨ ［（ ｐ∧ ｑ)∨（ ｑ∧ ｐ）］ 分配律
ｑ∨ ［０∨（ ｑ∧ ｐ)］ 矛盾律
ｑ∨ （ ｑ∧ ｐ) 同一律
ｑ∨（ ｑ∨ ｐ) 德-摩根律
（ ｑ∨ ｑ）∨ ｐ 结合律
１∨ ｐ 排中律
１ 零律
注：以上是命题逻辑的部分内容，由于时间的限制，其余部分如推理等及一阶谓词逻辑还未涉及到。
常用的联结词有 这五种
1、"非 ｐ"称为 ｐ的否定式，记作 ｐ
真值表：
例如： ｐ：11是素数； ｐ：11不是素数
ｐ取值1， ｐ取值0。
2、" ｐ并且 ｑ"称为 ｐ， ｑ的合取式，记作 ｐ∧ ｑ。
真值表：
在例1.(9)中， ｐ：小明是三好生， ｑ：小林是三好生
则小明和小林是三好生表示为 ｐ∧ ｑ。
例2、设 ｐ：李平聪明， ｑ：李平用功。
(1) 李平既聪明又用功。 ………… ｐ∧ ｑ
(2) 李平虽然聪明，但不用功。 ………… ｐ∧ ｑ
(3) 李平不但聪明，而且用功。 ………… ｐ∧ ｑ
(4) 李平不是不聪明，而是不用功。 ………… （ ｐ）∧ ｑ
3、" ｐ或者 ｑ"称 ｐ， ｑ的析取式，记作 ｐ∨ ｑ。
真值表：
例如， ｐ：小明学过英语， ｑ：小明学过日语，
则小明学过英语或日语可表示为 ｐ∨ ｑ
注意： ｐ∨ ｑ是相容的或，允许 ｐ， ｑ同真，即小明可能既学过英语又学过日语。（不相容的或，也称排斥或，记作 ｐ ｑ，指 ｐ， ｑ中恰有一个成立。如：小明学过英语或日语中的一门， ｐ ｑ等值于（ ｐ∧ ｑ）∨（ ｐ∧ ｑ）)
4、"如果 ｐ那么 ｑ"称 ｐ， ｑ的蕴涵式，记作 ｐ ｑ
其中 ｐ为前件， ｑ为后件。
真值表：
为了对蕴涵式真值表有所了解，请看下例。
例3、一位父亲对儿子说："如果我去书店，就一定给你买本《儿童画报》。"问：什么情况下父亲食言？
解：可能情况有四种：
(1) 父亲去了书店，给儿子买了《儿童画报》。
(2) 父亲去了书店，却没给儿子买《儿童画报》。
(3) 父亲没去书店，却给儿子买了《儿童画报》。
(4) 父亲没去书店，也没给儿子买《儿童画报》。
显然，(1)、(4)父亲没有食言，(3)与父亲的许诺没有抵触，当然也没有食言，只有(2)算食言，而这种情况正好对应蕴涵式为假的"前件真后件假"的条件。
例4、 ｐ：天下雨， ｑ：我骑车上班。
(1) 如果天不下雨，我就骑车上班。 ………… ｐ ｑ
(2) 只要天不下雨，我就骑车上班。 ………… ｐ ｑ
(3) 只有天不下雨，我才骑车上班。 ………… ｑ ｐ(或 ｐ ｑ )
(4) 除非天下雨，否则我就骑车上班。 ………… ｐ ｑ
(5) 如果天下雨，我就不骑车上班。 ………… ｐ ｑ
5、" ｐ当且仅当 ｑ"称 ｐ， ｑ的等价式，记作 ｐ ｑ。
真值表：
例5、 ｐ：２＋２＝４， ｑ：3是奇数
(1) 当且仅当3是奇数。 ………… ｐ ｑ
(2) 当且仅当3不是奇数。 ………… ｐ ｑ
(3) 当且仅当3是奇数。 ………… ｐ ｑ
(4) 当且仅当3不是奇数。 ………… ｐ ｑ
再考虑其真值表，因为 ｐ真， ｑ真，所以 ｐ ｑ， ｐ ｑ取值1， ｐ ｑ， ｐ ｑ取值0。
6、逻辑联结词与自然语言中联结词的关系。
否定--不是，没有，非，不。
合取--并且，同时，和，既…又…，不但…而且…，虽然…但是…。
析取--或者，或许，可能。
蕴涵--若…则…，假如…那么…，既然…那就…，倘若…就…。
等价--当且仅当，充分必要，相同，一样。
在例1中，(9)小明和小林都是三好生，(10)小明和小林是好朋友，两个命题都有"和"，但意思不同，在(9)中"和"表示合取(记 ｐ∧ ｑ)，而在(10)中"和"不是合取，整个语句是简单命题，记为 ｐ。
7、运算顺序
逻辑联结词也称逻辑运算符，规定优先级的顺序为 ，若有括号时，先进行括号内运算。
例如： ｐ （ ｑ∨ ｐ）∧（ ｑ∨ ｒ） ｑ
先运算 ｐ， ｑ，接着是 ｑ∨ ｐ和 ｑ∨ ｒ，然后是（ ｑ∨ ｐ）∧（ ｑ∨ ｒ），接着是" "的运算，最后是" "的运算。
三、命题符号化。
步骤：
(1) 找出各简单命题，分别符号化。
(2) 找出各联结词，把简单命题逐个联结起来。
例6、将下列命题符号化。
(1) 小王是游泳冠军或百米赛跑冠军。
设 ｐ：小王是游泳冠军， ｑ：小王是百米赛跑冠军。
原语句化为 ｐ∨ ｑ。
(2) 小王现在在宿舍或在图书馆。
设 ｐ：小王在宿舍， ｑ：小王在图书馆。
原语句化为 ｐ∨ ｑ。
(3) 选小王或小李中的一人当班长。
设 ｐ：选小王当班长， ｑ：选小李当班长。
原语句化为（ ｐ∧ ｑ）∨（ ｐ∧ ｑ）。
(4) 如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。
设 ｐ：我上街， ｑ：我去书店看看， ｒ：我很累。
原语句化为 ｒ （ ｐ ｑ）［或（ ｒ∧ ｐ） ｑ］。
(5) 小丽是计算机系的学生，她生于1982或1983年，她是三好生。
设 ｐ：小丽是计算机系的学生， ｑ：小丽生于1982年， ｒ：小丽生于1983年， Ｓ：小丽是三好生
原语句化为 ｐ∧（ ｑ∨ ｒ）∧ Ｓ。
四、两命题公式间的等值关系。
1、定义：
设Ａ，Ｂ为两命题公式， 若等值式Ａ Ｂ是重言式，则称Ａ与Ｂ是 等值的，记作 ＡＢ。
2、判定。
判断两公式Ａ，Ｂ是否等值，即判断Ａ Ｂ是否重言式，可用真值表的办法，看Ａ Ｂ的真值表的最后一列是否全为1，或者看Ａ，Ｂ真值表中的值是否完全相同。
例7、判断Ａ，Ｂ两公式是否等值。
(1)Ａ＝ （ ｐ∨ ｑ），Ｂ＝ ｐ∨ ｑ
(2)Ａ＝ ｐ ｑ，Ｂ＝（ ｐ ｑ）∧（ ｑ ｐ）
解：
(1) 作真值表如下：
表 1
(2) 作真值表如下：
表 ２
以上表1中的第三列与最后一列不完全相同，所以Ａ，Ｂ不等值；
以上表2中的第二列与最后一列完全相同，所以Ａ Ｂ。
五、重要等值式。
１、交换律Ａ∨Ｂ Ｂ∨Ａ，Ａ∧Ｂ Ｂ∧Ａ
２、结合律（Ａ∨Ｂ)∨Ｃ Ａ∨(Ｂ∨Ｃ)，(Ａ∧Ｂ)∧Ｃ Ａ∧(Ｂ∧Ｃ)
３、分配律Ａ∨（Ｂ∧Ｃ） （Ａ∨Ｂ）∧（Ａ∨Ｃ）
Ａ∧（Ｂ∨Ｃ） （Ａ∧Ｂ）∨（Ａ∧Ｃ）
４、德－摩根律 （Ａ∨Ｂ） Ａ∧ Ｂ， （Ａ∧Ｂ） Ａ∨ Ｂ
５、等幂律Ａ∨Ａ Ａ，Ａ∧Ａ Ａ
６、吸收律Ａ∨（Ａ∧Ｂ） Ａ，Ａ∧（Ａ∨Ｂ） Ａ
７、零律Ａ∨１ １，Ａ∧０ ０
８、同一律Ａ∨０ Ａ，Ａ∧１ Ａ
９、互否律Ａ∨ Ａ １(排中律)，Ａ∧ Ａ ０(矛盾律)
10、双重否定律 （ Ａ） Ａ
11、蕴涵等值式Ａ Ｂ Ａ∨Ｂ
12、等价等值式Ａ Ｂ （Ａ Ｂ）∧（Ｂ Ａ）
13、假言易位Ａ Ｂ Ｂ Ａ
14、等价否定等值式Ａ Ｂ Ａ Ｂ
15、归谬论（Ａ Ｂ）∧（Ａ Ｂ） Ａ
以上15组共24条重要等值式，在等值演算中经常要用到，应该记住它们，并能熟练运用。其中Ａ，Ｂ，Ｃ表示任意的命题公式。以上每条都可用真值表检验，如例1.(2)验证了第14条。
六、等值演算。
置换定理：如果Ａ Ｂ，则 （Ａ） （Ｂ）。
根据置换定理及24条等值式就可进行等值演算。
例8、验证下列等值式。
(1) ｐ （ ｑ ｒ） （ ｐ∧ ｑ） ｒ
(2) ［ ｐ∧（ ｑ∧ ｒ）］∨［ ｐ∧（ ｑ∧ ｒ）］ ｑ∧ ｒ
(3) ｑ∨ ［（ ｐ∨ ｑ）∧ ｐ］ １
解：(1) ｐ （ ｑ ｒ）
ｐ （ ｑ∨ ｒ)蕴涵等值式
ｐ∨（ ｑ∨ ｒ）蕴涵等值式
（ ｐ∨ ｑ）∨ ｒ结合律
（ ｐ∧ ｑ）∨ ｒ德-摩根律
(2)［ ｐ∧（ ｑ∧ ｒ）］∨［ ｐ∧（ ｑ∧ ｒ）］
［（ ｑ∧ ｒ)∧ ｐ］∨［（ ｑ∧ ｒ)∧ ｐ］ 交换律
（ ｑ∧ ｒ）∧( ｐ∨ ｐ) 分配律
（ ｑ∧ ｒ）∧１排中律
ｑ∧ ｒ同一律
(3) ｑ∨ ［（ ｐ∨ ｑ）∧ ｐ］
ｑ∨ ［（ ｐ∧ ｑ)∨（ ｑ∧ ｐ）］ 分配律
ｑ∨ ［０∨（ ｑ∧ ｐ)］ 矛盾律
ｑ∨ （ ｑ∧ ｐ) 同一律
ｑ∨（ ｑ∨ ｐ) 德-摩根律
（ ｑ∨ ｑ）∨ ｐ 结合律
１∨ ｐ 排中律
１ 零律
注：以上是命题逻辑的部分内容，由于时间的限制，其余部分如推理等及一阶谓词逻辑还未涉及到。
主讲：福建师范大数学系副教授 叶雪梅