Java千问：各种数制及数制间转换算法详解

我们在生活中用到数字，都是以十进制的方式计数的。稍有计算机常识的人都知道，计算机中是以二进制的方式计数的，另外在计算机中表示颜色经常会用到十六进制的数字，此外在其他一些领域还会用到八进制的数字。那么二进制、八进制、十进制、十六进制的数字，究竟是怎样计数的？它们之间是怎样相互换算的？本文就来详细说说这两个问题。

一、多种进制的计数方法

首先来说我们最熟悉的十进制。十进制计数法有10个原始的数字，分别是0-9，当我们想表示一个比9还大1的数字时，1个数位就不够用了，必须用两位数来表示，就是10，再比10大1的数是11...以此类推这样就能表示出任意大的数字。
而计算机中使用的二进制计数法，二进制计数法只有两个原始数字，就是0和1，想表示比1还大1的数字就需要用两位数来表示，就是10，之后是11，再之后是100...二进制计数法中最大的数字就是1，再增加的话就要进位了。这样以此类推也能表示任意一个数字。
通过学习二进制计数法，想必大家已经知道八进制数的特点了，那就是总共有8个原始数字，分别是0-7，当表示比7还大1的数字时，就必须进位了。
那么再来说说十六进制计数法。十六进制计数法中，有16个原始数字，前10个原始数字我们就用0-9来表示，但我们习惯使用的阿拉伯数字只有0-9这10个数字，现在还差6个原始数字，怎么办呢？我们就用字母去代替，这样的话第11个原始数字就A，第12个原始数字就是B，以此类推，第16个原始数字就是F。这个F换算成10进制数其实就是15。当表示比F还要大1的数字，就需要进位了，所以F再向后数就是10，11...小伙伴们可能非常不习惯16进制的技术方法，因为突然跑出来一些字母来表示一个数字，其实用多了自然也就习惯了。

二、数制的相互转换

下面我们来说说这些数制之间如何相互转换。刚才提到的4种进制的数字，相互转换的话有12种情况，请看下图：

从这幅图片上大家可以看到,各种数制之间相互转换情况的所有情形：四种数制之间相互连线，总共可以连12条线。很多小伙伴的第一反应就是：这么多种情况，又要记很多转换规则。其实大可不必担心，我们可以把这12中情况分成3种类型，并且掌握每种类型的算法就可以了。12种情况可以分成以下三类

• 其他进制的数转换为10进制
• 10进制的数转换为其他进制的数
• 其他数制之间相互转换
  首先我们来说说其他进制的数怎样转换为10进制的数。当我们拿到一个10进制的数字，比如168，那么168为什么是168呢？小伙伴们都会说这不是废话吗？168不是168还能是多少？其实168这个数字是由3个原始数字1、6和8组成的，这3个原始数字分别占据百位、十位和个位，这样，我们可以把168这个数字分解成以下形式：

以上算式运算得到的值是168，所以1、6和8这3个原始数字排列起来就能表示168。
这里需要强调一个细节，因为我们现在讨论的是10进制的数字，这三个原始数字都是乘以以10为底的n次方。按照这个原理，如果讨论的是2进制数字，那么计算一个数就应该是原始数字乘以以2为底的n次方，然后再把各个数字相加，最后就能得出这个数字的具体值了，比如一个二进制数101，按照刚才的算法，可以把101分解成以下形式：

以上算式运算得到的值是5。这就是二进制转换为10进制数的基本原理。
同样的，我们也可以把十六进制和八进制的数转换为十进制，比如十六进制的数1AF，可以分解成如下形式：

我们在运算时把A和F直接替换成对应的十进制数10和15，以上算式运算最终得到的十进制数就是431。通过几个例子，相信大家已经掌握了其他进制的数转换为十进制数的算法。这个算法的套路就是把各个位上的数字与M为底的n-1次方相乘，然后把相乘的结果都加起来，需要注意的是：几进制转换十进制，那么M就是几，比如要把二进制转换为十进制，这个M就是2。而所谓的n就是从右边数第几位，比如对于从右边数第3位的数字，n就是3，而n-1就是2。

刚才我们讲的是第一种类型，就是把其他进制的数字转换为十进制，下面我们再来说说十进制的数如何转换为其他进制的数。十进制的数如何转换为其他进制的数算法我们可以称之为“辗转求余法”。所谓“辗转求余法”就是指不断的用十进制的数字除以N，直到商为零为止，之后把每次除法操作所得到的余数串起来就完成了转换。这里要说明的是，如果是希望转换为二进制的数，那么就是不断除以2，同理，如果是希望转换为八进制的数，就不断的除以8。我们就以十进制转换为二进制为例来为大家讲解这个算法。比如我们要把十进制的数字13转换为2进制，就可以用以下方式完成转换：

运算的过程如上图所示：把13除以2，得到的商如果不为0，那么就以除法得到的商继续除以2，一直到商为0为止，最后把每次除法操作所得到的余数从下到上串起来，得到的结果就是1101。
下面再来讲一个十进制数转换为十六进制数的例子。比如把1835这个数字转换为十六进制，算法是一样的，只不过这次是不断的用这个数字除以16，过程如下图所示：

把余数中大于9的余数替换为字母，也就是把11替换为B，这样就得到了1835转换为十六进制的数字为72B

以上我们已经讲解了数制之间转换的两种类型，分别是其他进制转换为十进制和十进制转换为其他进制。现在就只剩第三种，那就是其他进制数字之间的转换。首先我们讲一下二进制转换为十六进制数的算法。在讲算法之前，必须先讲一下二进制数和十六进制数有什么关系。我们知道，二进制数只有两个原始数字分别是0和1，也就是说，二进制数的每一个位只有两种情形，非0即1。按照排列组合的算法，如果我们想排列出4种情形，只用1位二进制数是无法实现的，因为二进制数的每一个位只有2种情形。要排列出4种情形，那必须用2位数，同理，想排列出8种情形，要用3位数，想排列出16种情形，必须用4位数。而十六进制数有16个原始数字，也就是说十六进制数仅仅1个位上的数字就都有16种变化的可能性。那么这样我们就很容易理解一个道理，那就是：十六进制数的1位所能表示的数字，相当于二进制数4位所能表示的数字。
按照这种思想，我们把二进制数转换为十六进制的数时，首先把每4位二进制数划分为一组，把每一组二进制数字分别转换为一位十六进制数。划分时候从最右边开始，每4位分为1组，如果划到左边发现不够4位时，就让剩余的这几个数单独划分为一组。例如，二进制数101 1011 1000 1110转换为十六进制数过程如下：

如上图所示：从右边开始，每4位分为一组，左边不足4位的单独划分为一组，之后把每组二进制数先转为十进制数，然后把大于9的数字用字母代替，最后就产生了转换的结果5B8E。
这个例子是把二进制数字转换为十六进制，在转换的时候是把4位二进制数划分为一组进行转换，如果想把一个二进制数字转换为八进制数该怎么办呢？很多同学肯定会立刻想到，在转换的时候把3位二进制数划分为一组，为什么是3位划分一组呢？原因很简单，就是因为每3位二进制数可以排列出8种情形，而八进制数每1位数字就有8种变化的可能性。
我们仍然用刚才这个二进制数字进行举例，其转换过程如下：

1. 
   转换结果为55616。因为3位二进制数不可能组合出比8还大的数字，所以不会出现用字母替换数字的情况，那么我们所得到的这个数字本身就已经是一个八进制数了。
   以上讲解的是用二进制数转换为十六进制和八进制数，那么八进制数怎么转为二进制数十六进制数如何转换为八进制数？八进制怎么转化为十六进制等等。这几种情况确实不太容易直接转换，其实大家也不必担心，我们可以用两步来实现，首先把某种进制的数字转成十进制数，以十进制数为媒介，再转换为另一种数制就可以了。比如就拿刚才的数字来说，如果我们希望把八进制数字55616转换为十六进制数，可以先把这个八进制数转换为十进制数23438，再把十进制的数字23438转换为十六进制数5B8E就可以了。总之，所有不方便转换的情况，都可以先转换为十进制数，然后再进行二次转换。这样，任意两种数制之间就都能够实现相互转换了。

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