含有+-*/()的表达式求值

对于表达式，有常用的几种形式：

• 中缀表达式（Infix expression）：操作符位于两个操作数中间，算术表达式的常规表示法。需要用括号和优先规则排除多义性。（这也正是编写程序的麻烦点，需要制定完整的优先规则）(A+B)*C-D/(E+F)
• 后缀表达式（Postfix expression），逆波兰表示法，操作符位于操作数后面。这种方法使表达式求值很方便。AB+C*DEF+/- 。
• 前缀表达式（Prefix expression）：也叫波兰表示法，操作符写在操作数的前面。这种方法常用于编译器设计方面。-*+ABC/D+EF  

（在这里，不考虑前缀表示法）

 

 

为了简化问题，关注算法，本文的讨论基于以下三点：

1. 只考虑 + - * / ( ) 这几个基本运算符。
2. 运算数只考虑 0-9，这10个简单的数，方便从string中取出来。
3. 输入的表达式没有语法错误。

 

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现在先不考虑求值，先来考虑一个有趣的东西：表达式树

 (A+B)*C-D/(E+F)的表达式树

1. 非叶子结点都是运算符，数值都在叶子结点。
2. 在上面我忽略了一种情况：“-”   作为单目运算符的情况 （-a）：可以让a作为右结点，左结点为空；  也可以让左结点为0；
3. 从递归来看：一个子树能够得到一个值（返回值），该子树得到的值通过根结点的符号，左子树的值和右子树的值进行运算得到（递归实体）；如果该结点为叶子结点，那么直接返回值就行了。（求值的递归公式）
4. 在表达式树中，不需要加括号，因为括号所表示的优先级以及被树的结构包含了。 （自底向上计算，同一层的位于同一结点下的数值才能够运算）
5. 给出表达式树，要求表达式：先序遍历对应前缀表达式，中序遍历对应中缀表达式（需要看情况加括号），后序遍历对应后缀表达式。

 

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先考虑最简单的表示法：如果给出后缀表达式，AB+C*DEF+/-

 

算法思路：

• 给出后缀表达式S；建立一个栈，数字栈stack1。
• 循环读入表达式的每一个单元：
  • 如果读入的字符是数字，那么入栈；
  • 如果读入的字符是符号，那么弹栈两次，后弹出来的记为n1，先弹出来的记为n2；那么结果就为n1-n2；然后将结果入栈。
• 最后在栈中会得到最终结果。

 

因为后缀表达式不需要进行优先级规则的判断，因此，处理规则异常简单，只需要直接判断就行了。

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如果给出的是中缀表达式，(A+B)*C-D/(E+F)：

 

思路一：将中缀表达式转换为后缀表达式，然后....