刚性方程

摘自Wikipedia——刚性方程。

1. 定义

在数学领域中，刚性方程（stiffness equation）是指一个微分方程，其数值分析的解只有在时间间隔很小时才会稳定，只要时间间隔略大，其解就会不稳定。目前很难去精确地去定义哪些微分方程是刚性方程，然而粗略而言，若此方程式中包含使其快速变动的项，则其为刚性方程。
在积分微分方程时，若某一区域的解曲线的变化很大，会希望在这个区域的积分间隔密一些，若另一区域的曲线近似直线，且斜率接近零，会希望在这个区域的积分间隔松一些。不过针对一些问题，就算曲线近似直线，仍然需要用非常小的积分间隔来积分，这种现象称为“刚性”。有时可能会出现两个不同问题，一个有“刚性”，另一个没有，但两个问题却有同一个解的情形。因此“刚性”不是解本身的特性，而是微分方程的特性，也可以称为是刚性系统。

2. 举例

考虑如下初值问题：\[{y^{'} = -15y(t)，t \ge 0，y(0) = 1}\]
其精确解是：\[{y(t) = e^{-15t}}\]
易知，当\({t \rightarrow \infty}\)时，\({y(t) \rightarrow 0}\)。当我们用数值分析的方法来解决该问题时，我们希望数值解也能满足该性质。

• 若以欧拉方法来求数值解，则使用不同的步长将会得到不同的结果。第一种，步长\({h=1/4}\)的欧拉法强烈的震荡并且很快离开了图的边界。当将步长减半为 \({h=1/8}\)时，得到的结果在图的范围以内。但是它依然在\({0}\)附近震荡，并且不可能表示精确的解。

• 而梯形法（即两阶段亚丹士-莫耳吞法）表达为
  \[{y_{n+1} = y_n + {1 \over 2}h(f(t_n, y_n) + f(t_{n+1}, y_{n+1}))}\]
  其求得的结果比欧拉法的结果要好很多。如上图所示，数值结果单调地减少到零，如同精确解一样。

  3. 特性

  刚性系统的特色是该系统所有特征值的实部均为负数，并且其中特征值实部绝对值中，最大和最小的比值远大于1。

  4. 稳定区域

• 将龙格－库塔法应用至测试方程\({y^{'} = ky}\)，可以得到如\({y_{n+1} = \phi(hk)y_n}\)的形式，并可归纳出\({y_n = (\phi(hk))^ny_0}\)，其中\(\phi\)称为稳定性函数。因此\({\lim_{n \rightarrow \infty}y_n = 0}\)的条件等价于 \({|\phi(hk)| < 1}\)。这启发了绝对稳定区域（有时简称为稳定区域）的定义，亦即集合\({\{z \in \mathbb {C}|\,\,|\phi(z)| < 1\}}\)。

• 若一个方法的稳定区域包含 \({\{z \in \mathbb {C} |\,\,\mathrm {Re} (z) < 0 \}}\)（即左半平面），则称该方法为A-稳定。