三角和 公式 是 我自己 的 叫法， 根据 百度百科 的 说法， 应该叫 三角函数和角公式 。
写这篇文章 的 直接原因 是 看到 网友 秋叶空港 在 数学吧 发的 一个 帖 《这套公式的名字是什么》 http://tieba.baidu.com/p/6460855800 ， 里面 提到 一组公式 ：
平面直角坐标系 xOy 上，点（x，y）绕原点旋转 A（A>0 时逆时针地旋转；相反地，A<0 时顺时针地旋转）后的坐标是（a，b），那么：
我想 证明 一下 这组公式， 但是 似乎 直接 证明 有点 困难， 就 想到了 三角和 公式， 然后 对 三角和 公式 证明了一下 。
如图 ， 可以知道 三角形 ODE 、ADB 、AFB 相似 ， 所以， ∠ ABF = α ，所以 FB = AB * cos ∠ ABF = AB * cos α ，
因为 AB = OA * sin β ， 所以 FB = AB * cos α = OA * sin β * cos α ，
BC = OB * siin α ， 因为 OB = OA * cos β ， 所以， BC = OB * siin α = OA * cos β * sin α ，
FC = FB + BC = OA * sin β * cos α + OA * cos β * sin α ，
AE = FC = OA * sin β * cos α + OA * cos β * sin α ，
sin ( α + β ) = AE / OA = ( OA * sin β * cos α + OA * cos β * sin α ) / OA = sin β * cos α + cos β * sin α ，
即 sin ( α + β ) = sin α * cos β + cos α * sin β ， 这就是 三角和 公式 。
再来证明 cos ( α + β ) 。
因为 OC = OD * cos α ， OD = OA * cos β ，
所以， OC = OA * cos β * cos α ，
AF = AB * sin ∠ ABF = AB * sin α ， AB = OA * sin β ， AF = AB * sin α = OA * sin β * sin α ，
EC = AF = OA * sin β * sin α ，
OE = OC - EC = OA * cos β * cos α - OA * sin β * sin α ，
cos ( α + β ) = OE / OA = ( OA * cos β * cos α - OA * sin β * sin α ) / OA = cos β * cos α - sin β * sin α ，
cos ( α + β ) = cos α * cos β - sin α * sin β
根据 三角和 公式 ， 可以 容易 的 推导出 本文 开头 的 公式， 设 点（x，y） 到 原点 O 的 线段 为 r， 旋转前 r 和 x 轴 夹角 为 α ， 逆时针 旋转 角度 A 之后 的 坐标 为 ( a , b ) ，
a = r * cos ( α + A ) = r * ( cos α * cos A - sin α * sin A ) = r * ( x / r * cos A - y / r * sin A ) = x cos A - y sinA
b = r * sin ( α + A ) = r * ( sin α * cos A + cos α * sin A ) = r * ( y / r * cos A + x / r * sin A ) = y cosA + x sinA
a = x cos A - y sinA
b = y cosA + x sinA
这就是 本文 开头 的 公式 。