Algorithm: Prime & Euler Function & Productive Function

素数筛

朴素算法

一般来说,可以用试除法判断某一个数是不是素数:

bool isPrime(int n) {
    if(n < 2) return false;
    for(int i = 2; i < n; i++)
        if(n % i == 0) return false;
    return true;
}

但其实我们只需要试除到根号n即可,因为对于任意的n,假设存在一个大于根号n的因数,那么肯定存在一个小于根号n的因数与之对应。那么有:

bool isPrime(int n) {
    if(n < 2) return false;
    int m = sqrt(n + .5);
    for(int i = 2; i <= m; i++)
        if(n % i == 0) return false;
    return true;
}

埃氏筛

但如果我们要求所有小于等于n的数是不是素数呢?这时我们用素数筛法解决。筛法是一种思想,利用之前处理过的信息来更新后面的结果。对于一个大于1的数,它的倍数显然是合数,那么我们可以在遍历到i时,筛去所有i的倍数;当我们遍历到i+1时,只要它还没有被筛去,那它就一定是素数。这就是埃拉托斯特尼筛法,简称埃氏筛

int prime[M];
bool vis[M];
void eratosthenes() {
    for (int i = 2; i < M; i++) {
        if (!vis[i]) {
            prime[++prime[0]] = i;
            for (int j = 2 * i; j < M; j += i) {
                vis[j] = 1;
            }
        }
    }
}

改进埃氏筛

显然埃氏筛有很多的重复的筛除操作,把朴素算法中的优化引入埃氏筛,我们就可以得到改进的埃氏筛。

int prime[M];
bool vis[M];
void eratosthenes_plus() {
    int m = sqrt(M + .5);
    for (int i = 2; i <= m; i++) {
        if (!vis[i]) {
            prime[++prime[0]] = i;
            for (int j = i * i; j < M; j += i) {
                vis[j] = 1;
            }
        }
    }
}

欧拉筛

虽然改进的埃氏筛复杂度在大多数情况已经可以被接受了,但有时我们需要线性时间判断1~n的所有素数。这时就需要欧拉筛。欧拉筛通过保证每个素数都会被它最小的那个(质)因数筛掉,进而使复杂度达到线性。

int prime[M];
bool vis[M];
void euler() {
    for(int i = 2; i < M; i++) {
        if(!vis[i]) {
            prime[++prime[0]] = i;
        }
        for(int j = 1; j <= prime[0] && i * prime[j] < M; j++) {
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0) {
                break;
            }
        }
    }
}

重点就在于if(i % prime[j] == 0)这一句,为什么要在i是第j个素数的倍数时停止筛除呢?
\[ \begin{align} & 当i是prime[j]的倍数时,我们可以把i表示为i=k\times prime[j],k\in N^+。\\ & 对于下一个被筛去的数X,X=i\times prime[j+1]=k\times prime[j]\times prime[j+1],\\ & 显然X还存在一个更小的质因子prime[j],为了符合每个数都被最小的质因数筛去的原则,\\ & 此时应该跳出循环,不用prime[j+1]\times(k\times prime[j])筛去X,而应该在将来,\\ & 用prime[j]\times(k\times prime[j+1])筛去X。 \end{align} \]

欧拉函数与欧拉定理

欧拉函数

在数论中,对正整数n,欧拉函数φ(n)的值为小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。

例如:φ(8)=4,因为1,3,5,7与8互质。

扩展:在群论中,欧拉函数实际上是模n的同余类构成的乘法群的阶。

欧拉定理

在数论中,欧拉定理为:若gcd(a,n)=1,则:
\[ a^{\phi(n)}\equiv 1(mod\space n) \]
欧拉函数的性质和拉格朗日陪集定理结合构成了欧拉定理的证明。

推广:欧拉降幂公式
\[ a^b\equiv a^{b\%\phi(n)+\phi(n)}(mod\space n) \]

例题:洛谷 5091

性质

基本性质

若n是质数p的k次幂,那么有:
\[ \phi(n)=\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}\\ p^{k-1}为1到n中p的倍数,显然这些数与n不互质。 \]
例:
\[ \phi(72)=\phi(2^3\times 3^2)=2^{3-1}\times (2-1)\times 3^{2-1}\times (3-1)=24 \]

费马小定理的推广

回顾费马小定理:若p为质数,a为任意正整数,那么:
\[ a^p-a可以被p整除。 \]
即:
\[ \begin{aligned} &a^p-a\equiv0(mod\space p)\\ \Leftrightarrow&a^p\equiv a(mod\space p)\\ \Leftrightarrow&a^{p-1}\equiv 1(mod\space p) \end{aligned} \]
回到欧拉定理,若p为质数,φ(p)=p-1,那么有:
\[ a^{p-1}\equiv 1(mod\space p) \]
这就是费马小定理。历史上,欧拉首先证出了费马小定理,然后在这个基础上推广得到了欧拉定理。

积性函数

即若m,n互质,那么有φ(mn)=φ(m)φ(n)

推广:小于n的所有与n互质的数的和为n*φ(n)/2。

对任意a>b>0,gcd(a,b)=1,总有gcd(a,a-b)=1。那么对于n,有φ(n)个小于n的数与n互质,设其为x,那么总存在一个n-x也与n互质,两者之和为n,那么一共有φ(n)/2对。这些数的和为n*φ(n)/2。

例:hdu 3501

题意:求比n小的、和n不互质的数的和%1,000,000,007,其中n≤10的9次方。

欧拉函数计算

对于任意正整数n,分解质因数得:
\[ n=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times ......\times p_m^{k_m} \]
由:
\[ \phi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-{1\over p}) \]
得:
\[ \phi(n)=p_1^{k_1}(1-{1\over p_1})\times p_2^{k_2}(1-{1\over p_2})\times ......\times p_m^{k_m}(1-{1\over p_m}) \]
又:
\[ n=\prod_{i=1}^m p_i^{k_i} \]
所以:
\[ \phi(n)=n\times \prod_{i=1}^m (1-{1\over p_i}) \]
代码实现如下:(例题:poj 2407)

// 计算单个欧拉函数值
int euler(int n) {
    int ans = n;
    // 追求更高效率还可以结合素数表
    int m = sqrt(n + .5);
    for(int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if(n % i == 0) {
            ans -= ans / i;
            while(n % i == 0) n/= i;
        }
    }
    if(n > 1) ans -= ans / n;
    return ans;
}

下面是打表写法。

LL euler[N];
void cal_euler() {
    euler[1] = 1;
    for(int i = 2; i 

例题:hdu 2824

题意:欧拉前缀和。注意空间限制。

#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 3e6 + 100;
LL euler[N];
void pre() {
    euler[1] = 1;
    for(int i = 2; i > a >> b) {
        cout << euler[b] - euler[a - 1] << endl;
    }
    return 0;
}

积性函数

定义

在数论中,积性函数是指定义在正整数集上的算数函数f(n),且有:f(1)=1;若gcd(a,b)=1,f(ab)=f(a)f(b)。

扩展:完全积性函数:若积性函数f在gcd(a,b)≠1时,仍有f(ab)=f(a)f(b),那么f称为完全积性函数。在数论外的积性函数一般是指完全积性函数。

性质

对n质因分解得:
\[ n=\prod^k_{i=1} p_i^{a_i},其中,p_i为分解得到的质因数 \]
那么对于积性函数f,有:
\[ f(n)=\prod^k_{i=1}f(p_i^{a_i}) \]

常见的积性函数

欧拉函数、莫比乌斯函数、gcd(n,k)(k固定),约数函数σ(σ(n)为n的约数个数)。约数个数函数σ定义如下:

对于任意正整数n,设其质因分解为:
\[ n=p_1^{k_1}\times p_2^{k_2}\times ......\times p_m^{k_m} \]
那么其因数个数为:
\[ N=(k_1+1)\times(k_2+1)\times...\times(k_m+1) \]

\[ 即:σ(n)=\prod_{i=1}^m (k_i+1) \]

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