DP的优化总结

一、预备知识

1. \(tD/eD\) 问题：状态 t 维，决策 e 维。时间复杂度\(O(n^{e+t})\)。

2. 四边形不等式：

   称代价函数 w 满足凸四边形不等式，当:\(w(a,c)+w(b,d)\le w(b,c)+w(a,d),\ a < b < c < d\)
   如下所示，区间1、2对应的 w 之和 ≤ 3、4之和

\[ \underbrace {\overbrace {a \to \underbrace{b \to c}_3}^1 \to d }_4 \llap{\overbrace {\phantom{b\to c\to d}}^2} \]

1. 凸完全单调性：

称矩阵 \(A\) 凸完全单调，当：
\(A(a,c)\ge A(b,c)\Rightarrow A(a,d)\ge A(b,d),\ a < b < c < d\)
如下所示，如果满足1区间对应的 w 比2大，那么可以推出3比4大。

\[ \overbrace {\overbrace {a \to b \to c}^1 \to d }^3 \llap{\underbrace {\underbrace{\phantom{b\to c}}_2\phantom{\to d}}_4} \]

由四边形不等式可以推出完全单调性，反之不真。

1. 区间包含关系单调：w 满足\(w(b,c)\le w(a,d),a\le b\le c\le d\)。
2. 决策单调性：\(r_j\)是使得矩阵A 第 j 列最小的行号。若\(A\)满足凸完全单调性可以推出\(r_1\le r_2 \le \cdots \le r_m\)，即最小值行号递增。

二、优化方法

1. 利用决策单调性

转移方程：\(f(j)=\min_{i < j}\{f(i)+w(i,j)\}\)

令 \(A(i,j)=f(i)+w(i,j)\)表示状态 j 从上一列的第 i 行转移过来的结果。

w满足凸四边形不等式\(\Rightarrow\)w 是凸完全单调的\(\Rightarrow A\)也是凸完全单调的\(\Rightarrow\)决策单调。

令 d(j) 表示最小的满足第 j 行比前面行优的列编号。

每个决策（行）的作用范围是相互连接且递增的列区间，d(j)就是j作用区间的起点，比如：

111224444，d(1)=1,d(2)=4,d(4)=6

由于决策单调，我们用栈维护\(< d(j),j>\)。每次要做的就是：

• 二分找到d(j)在哪个列区间，弹出后面的区间。
• 在这个列区间里二分计算出d(j)
• 入栈

这样就从\(O(n^2)\)优化到了\(O(n\log_2n)\)。

2. 分治优化

转移方程：\(f(i,j)=\min \{f(i-1,k-1)+w(k,j)\}\)

也是利用决策单调性。

令 d(i, j) 表示 f(i, j) 的最优决策。

\(d(i,j')\le d(i,j) ,j' < j\)

于是可以在d(i, j) 前面的区间遍历寻找d(i', j')。

我们分治的过程 \(solve(opt_L,opt_R,l,r)\) 遍历\(opt_L\)到\(opt_R\) 计算出中点\(m=(l+r)/2\) 的 d(i, m)。

那么所有\(l\le x < m\) 的 d(i, x) 一定是在\([opt_L, d(i,m)]\)区间内，所有\(m < x\le r\)的d(i, x) 一定是在\([d(i,m),opt_R]\)区间内。
所以递归：

solve(optL,d[i][m],l,m-1);
solve(d[i][m],optR,m+1,r);

相关文章：post1

3. 单调队列

转移方程：\(\displaystyle f(i)=\min_{j=b[i]}^{i-1}\{g(j)\} + w(i)\)，\(b[i]\)随 i 递增。
若后面的一个决策更优，那么前面的决策就可以删掉。因此单调队列维护决策表：

• 队首出队，直到队首符合范围
• 此时队首就是最优决策
• 计算出的 g(x)如果比队尾优，不断删除队尾，直到g(x)没有更优，则插入队尾。
• \(O(n)\)

4. 斜率优化

转移方程： \(f(i)=\min\{a_{i}\cdot x_{j} + b_{i} \cdot y_{j}\}\)

这是一种数形结合的思想。将每个决策作为一个点\((x_j,y_j)\)，画在平面直角坐标系中，于是我们要找的是让\(z=a_{i}\cdot x+ b_{i} \cdot y\) 最小的点。变形得到\(y=-\frac {a_i}{b_i} \cdot x+\frac z {b_i}\)。也就是找一个点，斜率为\(-\frac {a_i} {b_i}\)的直线经过该点时，纵截距最小。

可以发现所有最优决策点在一个凸壳上。

• 如果斜率和 x 都单调，只要用单调队列维护，队尾的删除是因为要维护凸性，队首的删除是因为决策点在凸壳上是单调移动的，当前队首不是最优解，之后也不会是最优解。\(O(n)\)
• 否则，二分可以找到最优决策点。将凸壳上的点连边，斜率是单调递增的，决策 i 插入时，先根据 x 二分找到插入点，然后两边进行 Graham 维护凸性，就是删点。x 不单调时需要用平衡树动态维护凸包。\(O(n\log_2n)\)
• 另外可以用 cdq分治 代替平衡树来做。
• 斜率优化的题一般也可以用分治优化做。

相关文章：
bzoj1492 [NOI2007]货币兑换Cash

5. 凸包优化（Convex Hull Trick）

转移方程：\(f(i)=\min \{f(j)+b_j*a_i\}\)

其实相当于上式\(a_i=1,x_j=f(j),y_j=b_j,b_i=a_i\)，因此也可以用斜率优化。

将每个决策\(A(i,j)=\color{blue}{b_j}*a_i+\color{green}{f(j)}\)

作为一条直线\(y=\color{blue} {m_j}*x+\color{green}{c_j}\)，当前状态选择的决策就是将\(x=a_i\)带入所有直线，得到最小值的那条直线。

我们用栈维护有效（最小值可能出现在它上面）的直线。

如果\(b_j\)递减，那么相当于不断加入一条斜率更小的直线，它和最后一条直线\(l_1\)的交点如果比\(l_1\)与\(l_2\)的横坐标要更小，则\(l_1\)无效了，从栈中弹出，反复执行直到横坐标不更小或者只剩栈底，此时入栈。这个过程类似维护凸包。

如果\(a_i\)递增，那么每次最小值一定在最后一条直线上。于是复杂度是\(O(n)\)。

相关文章：Convex hull trick

6. 凸包优化2

转移方程：\(f(i,j)=\min \{f(i-1,k)+b_k*a_j\}\)

i 固定时，每个决策\(A(j,k)=\color{blue}{b_k}*a_j+\color{green}{f(i-1,k)}\)，作为一条直线\(y=\color{blue} {m_k}*x+\color{green}{c_k}\)，那么接下来同上。
故总得复杂度是\(O(kn)\)。

相关文章: post2

7. Knuth优化

转移方程 \(f(i,j)=\min\{f(i,k-1)+f(k,j)\}+w(i,j)\)

1. 如果 w 满足四边形不等式和 区间包含单调性，那么 f 也满足四边形不等式。
2. 定义 f 取得最优值的决策：\(s(i, j)\)，如果 f 满足四边形不等式，则 s 单调：\(s(i,j-1)\le s(i,j) \le s(i+1,j)\)

于是转移方程改写为：

\(f(i,j)=\min\{ f(i,k-1)+f(k,j)\}+w(i,j), s(i,j-1)\le k\le s(i+1,j)\)

由于这个状态转移方程枚举的是区间长度L，假设求f(i,i+L),而每次循环长度之和为

\[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{n-L}{s(i+1,i+L)-s(i,i+L-1)}\\ &=s(2,L+1)-s(1,L)+s(3,L+2)-s(2,L+1)+s(4,L+3)-s(3,L+2)..\\ &=s(n-L+1,n)-s(1,L)\le n-1 \end{aligned} \]

枚举L是的\(O(n)\)，于是总的复杂度是\(O(n^2)\)。

Donald E. Knuth 从最优二叉搜索树的数据结构中提出的。

相关文章：1 2

三、题目

凸包优化（CHT）

1. BZOJ 1701-Cow School Solution-Video
2. SPOJ-APIO2010 Commando
3. SPOJ-TRAKA
4. SPOJ-BAABO
5. SPOJ-ACQUIRE
6. SPOJ-NKLEAVES
7. cf91e-SkyScrapers (+Data Structures)
8. cf311b Cats Transport
9. cf660f Bear and Bowling 4
10. cf319c Kalila and Dimna in the Logging Industry
11. cf631e Product Sum
12. cf455e Function
13. cf536c Tavas and Pashmaks
14. cf377e Cookie Clicker
15. cf91e Igloo Skyscraper
16. Jump mission | CodeChef
17. Contest Page | CodeChef

Knuth 优化

1. Spoj-BRKSTRNG
2. UVa10003-Cutting Sticks
3. UVa10304
4. Order-Preserving Codes - gym100212C
5. UVa12057
6. UVa-12836

分治优化

1. cf321e Ciel and Gondolas
2. hr-Guardians of the Lunatics
3. Chef and Bitwise OR Operation | CodeChef
4. SPOJ-NKLEAVES
5. hr-mining
6. Bicolored Horses
7. UVa12524
8. cf673e Levels and Regions
9. ARC 067D

斜率优化

1. BZOJ 1597 [Usaco2008 Mar]土地购买
2. BZOJ 3675 [APIO 2014]序列分割
3. BZOJ 1010 [HNOI2008]玩具装箱toy
4. BZOJ 3437 小P的牧场
5. BZOJ 3156 防御准备
6. BZOJ 1096 [ZJOI2007]仓库建设
7. BZOJ 1911 APIO 2010 Commando
8. BZOJ 4518 [SDOI2016] 征途
9. HDU 3507
10. HDU 3401
11. HDU 2191
12. HDU 5956 The Elder

平衡树维护动态凸包

1. cf70d
2. BZOJ 2300(HAOI2011)防线修建
3. BZOJ 1492 货币兑换Cash
4. HDU 5127 Dogs’ Candies

---

参考文章：

1. Dynamic programming with convexity, concavity and sparsity
2. 《算法艺术与信息学竞赛》p149。
3. 1D1D动态规划优化初步
4. 动态规划算法的优化技巧-毛子青
5. dp优化-个人对dp优化的理解
6. Dynamic Programming Optimizations
7. 斜率优化 二