64. 最小路径和

1. 题目

给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。
示例:

输入:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

来源：力扣（LeetCode）
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2. 思路

了解了基础的动态规划之后，这样的题做起来不算难。

1. 找子问题。
   如果我们要求到[i][j]的最短路径和，其实只要知道到达其上方与其下方的最短路径和就可以了，因为要到达[i][j]，总得先到达[i-1][j]或者[i][j-1],只需要到达两者的距离选择较小的那个，加上[i][j]处的值就可以了。
2. 转移方程
   我们新建一个二维矩阵dp,与原矩阵大小相同，其中dp[i][j]存储的是从左上角到其的最短路径和。
   则有(设原矩阵为)：
   
3. 边界值。
   所谓边界值，就是用转移方程算不出来的值，需要在一开始设定，很容易可以求出来，这里的边界值就是第一行与第一列。
4. 利用转移方程动态规划求解。
   code:

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector>& grid) {
    int row = grid.size();
    int col = grid[0].size();
    vector> dp(row, vector(col, 0));
    /* 初始化第0行及第0列 */
    dp[0][0] = grid[0][0];
    for (int i = 1; i < row; i++) {
        dp[i][0] = dp[i-1][0]+grid[i][0];
    }
    for (int i = 1; i < col; i++) {
        dp[0][i] = dp[0][i-1]+grid[0][i];
    }
    /* 动态规划 */
    for (int i = 1; i < row; i++) {
        for (int j=1; j < col; j++) {
            dp[i][j] += min(dp[i][j-1], dp[i-1][j]) + grid[i][j];
        }
    }
    return dp[row-1][col-1];      
    }
};

题外话：这个专题可能会继续更新一阵子。