70. Climbing Stairs

题目描述：给正整数 n 表示楼梯级数，每次能迈一层或者两层，问一共有多少种登顶法。

分析：基础的常见题，两种思路三种做法。到达第 n 级台阶的方法为 n - 1 级登一步，或n - 2 级登两步。递归或迭代，递归肯定要超时，迭代时间复杂度O(n)，空间O(1)。第三种数学法，这个规律实际上是斐波那契数列的递推式，可以用斐波那契通项公式:

迭代法：时间复杂度O(n)，空间O(1)。

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if (n == 1 || n == 0) return 1;
        int a = 0, b = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i ++)
        {
            int t = b;
            b += a;
            a = t;
        }
        return b;
    }
};

迭代法二：时间复杂度O(n)，空间O(n)

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector f(n + 1, 0);
        f[0] = 1;
        f[1] = 2;
        for (int i = 2; i <= n; i++) 
            f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];

        return f[n];
    }
};

记忆化搜索：

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int f[100];
int fun(int x)
{
    if (x == 1 || x == 0) return 1;
    if (f[x] != 0) return f[x];
    f[x] = fun(x - 1) + fun(x - 2);
    return f[x];
}
int main()
{
    f[0] = 1;
    f[1] = 1;
    cout<< fun(10)<

斐波那契公式：时间复杂度O(1)，空间O(1)。

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        double x = sqrt(5);
        return floor( ( pow( (1 + x) / 2, n + 1) + pow( (1 - x) / 2, n + 1) ) / x + 0.5 );
    }
};