【中国剩余定理-入门】-C++

中国剩余定理也称孙子定理,是中国古代求解一次同余式组(见同余)的方法。是数论中一个重要定理。

这玩意在luogu居然有模板题:
[TJOI2009]猜数字

先来看一个问题:

在《孙子算经》中有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二(除以3余2),五五数之剩三(除以5余3),七七数之剩二(除以7余2),问物几何?”

熟悉吗小学数学学过吗
这样的问题是基本的中国剩余定理的运用,解题过程有三步:

  1. 找出三个数:从\(3\)\(5\)的公倍数中找出被\(7\)除余\(1\)的最小数\(15\),从\(3\)\(7\)的公倍数中找出被\(5\)除余\(1\)的最小数\(21\),最后从\(5\)\(7\)的公倍数中找出除\(3\)\(1\)的最小数\(70\)
  2. \(15\)乘以\(2\)\(2\)为最终结果除以\(7\)的余数),用\(21\)乘以\(3\)\(3\)为最终结果除以\(5\)的余数),同理,用\(70\)乘以\(2\)\(2\)为最终结果除以\(3\)的余数),然后把三个乘积相加\(15∗2+21∗3+70∗2\)得到和\(233\)
  3. \(233\)除以\(3,5,7\)三个数的最小公倍数\(105\),得到余数\(23\),即\(233%105=23\)。这个余数23就是符合条件的最小数。

不得不佩服古人的智慧

然后看回题目(链接在开头)
\[ \begin{cases} (n-a_1)|b_1\\ (n-a_2)|b_2\\ ...\\ (n-a_k)|b_k \end{cases}\\ \]
变形成同余方程组之后:
\[ \begin{cases} (n-a_1≡0)\pmod {b_1}\\ (n-a_2≡0)\pmod {b_2}\\ ...\\ (n-a_k≡0)\pmod {b_k}\\ \end{cases} \]

很明显的,
如果\(a≡b\pmod{m}\),则\(a+c≡b+c\pmod{m}\)成立。
这个不难理解,稍微理解一下就可以了。
然后把上面同余方程组变形一下:
\[ \begin{cases}\\ n\equiv a_1(\mod b_1)\quad \\ n\equiv a_2(\mod b_2)\quad \\ ...\quad \\ n\equiv a_k(\mod b_k)\quad \\ \end{cases}\\ \]
然后到这里就是中国剩余定理的裸题了。但是需要注意的是因为题目问题,我们需要对每一个\(a_i\)作这样的操作:
$
a[i]=(a[i]\mod b[i]+b[i])modb[i];
$

然后还需要注意的就是,这道题目因为数据良(bian)心(tai),所以还需要用快速乘来防止爆long long的情况。
代码:

#include
#define ll long long
using namespace std;
ll a[110],b[110];
ll k;
inline int read()
{
   int x=0,f=1;
   char ch=getchar();
   while(ch<'0'||ch>'9'){
       if(ch=='-')
           f=-1;
       ch=getchar();
   }
   while(ch>='0'&&ch<='9'){
       x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
       ch=getchar();
   }
   return x*f;
}
inline ll qmul(ll a, ll b, ll m)
{
    ll res=0;
    while(b>0)
    {
        if(b&1)res=(res+a)%m;
        a=(a+a)%m;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
inline void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int tmp=x;
    x=y,y=tmp-a/b*y;
    return;
}
ll China()
{
    ll ans=0,lcm=1;
    for(ll i=1;i<=k;i++)
        lcm*=b[i];
    ll x,y;
    for(ll i=1;i<=k;i++)
    {
        ll p=lcm/b[i];
        exgcd(p,b[i],x,y);
        x=(x%b[i]+b[i])%b[i];
        ans=(ans+qmul(qmul(p,x,lcm),a[i],lcm))%lcm;
    }
    return (ans+lcm)%lcm;
}
int main()
{
    cin>>k;
    for(int i=1;i<=k;i++)
        a[i]=read();
    for(int i=1;i<=k;i++)
        b[i]=read(),a[i]=(a[i]%b[i]+b[i])%b[i];
    cout<

ov.

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