再寄小读者之数学篇[2014.01.01-2014.06.30]

[再寄小读者之数学篇](2014-06-28 证明级数几乎处处收敛)

设 $f\in L(\bbR)$, 试证: $$\bex \vsm{n}f(n^2x) \eex$$ 在 $\bbR$ 上几乎处处收敛到一 Lebesgue 函数.

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-27 向量公式: The Hall term)

$$\bex \n\cdot{\bf b}=0\ra \n\times [(\n\times {\bf b})\times {\bf b}]=\n\times [\n\cdot ({\bf b}\otimes {\bf b})]. \eex$$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-26 Logarithmical Sobolev inequality using BMO space)

$$\bex q>3\ra \sen{\n f}_{L^\infty} \leq C(q)\sez{ 1+\sen{\n f}_{BMO} \ln^\frac{1}{2}\sex{e+\sen{\n f}_{W^{1,q}}+\sen{f}_{L^\infty}} }. \eex$$ $$\bex m\geq 3\ra \sen{\n f}_{L^\infty}\leq C\sez{ 1+\sen{\n f}_{BMO} \ln^\frac{1}{2} \sex{1+\sen{\n f}_{H^m}} }. \eex$$ 

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-26 Besov space estimates)

 

(1) $$\bex \sen{D^k f}_{\dot B^s_{p,q}}\sim \sen{f}_{\dot B^{s+k}_{p,q}}. \eex$$  

 

(2) $$\beex \bea &\quad s>0,\ q\in [1,\infty],\quad p_1,r_1\in [1,\infty],\ \cfrac{1}{p}=\cfrac{1}{p_1}+\cfrac{1}{p_2}=\cfrac{1}{r_1}+\cfrac{1}{r_2}\\ &\ra \sen{fg}_{\dot B^s_{p,q}}\leq C\sex{ \sen{f}_{L^{p_1}}\sen{g}_{\dot B^s_{p_2,q}} +\sen{g}_{L^{r_1}}\sen{f}_{\dot B^s_{r_2,q}} }. \eea \eeex$$  

 

(3) $$\beex \bea &\quad s_1,s_2\leq \cfrac{n}{p},\quad s_1+s_2>0\\ &\ra \sen{fg}_{\dot B^{s_1+s_2-\frac{n}{p}}_{p,1}} \leq C\sen{f}_{\dot B^{s_1}_{p,1}}\sen{g}_{\dot B^{s_2}_{p,1}}. \eea \eeex$$  

 

(4) $$\beex \bea &\quad -\cfrac{n}{p}-1<s\leq \cfrac{n}{p}\\ &\ra \sen{[u,\lap_q]w}_{L^p} \leq c_q 2^{-q(s+1)}\sen{u}_{\dot B^{-\frac{n}{p}+1}_{p,1}}\sen{w}_{\dot B^s_{p,1}}\quad\sex{\sum_{q\in{\bf Z}} c_q\leq 1}. \eea \eeex$$  

 

(5) $$\beex \bea &\quad s,s_1>0, s=\tt s_1, 0<\tt<1\\ &\ra \sen{f}_{\dot B^s_{2,1}}\leq C\sen{f}_{\dot B^{s_1}_{2,1}}^\tt \sen{f}_{L^2}^{1-\tt}. \eea \eeex$$  

 

(6) [to be determined...the definition of Triebel-Lizorkin space $\dot F^s_{\infty,q}$ for $1\leq q<\infty$...] $$\bex \sen{f}_{BMO}\leq C\sex{\sen{\n f}_{BMO}+\sen{f}_{L^2}}. \eex$$  

 

(7) $$\bex \sen{f}_{L^\infty}\leq C\sen{f}_{L^2}^\frac{1}{4} \sen{\lap f}_{L^2}^\frac{3}{4}. \eex$$

 

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 Bernstein's inequality)

$$\bex \supp \hat u\subset \sed{2^{j-2}\leq |\xi|\leq 2^j} \ra \cfrac{1}{C}2^{jk}\sen{f}_{L^p} \leq \sen{D^k f}_{L^p}\leq C2^{jk} \sen{f}_{L^p}; \eex$$ $$\bex \supp \hat u\subset \sed{|\xi|\leq 2^j} \ra \sen{f}_{L^q}\leq C2^{jn\sex{\frac{1}{p}-\frac{1}{q}}} \sen{f}_{L^p}\quad\sex{1\leq p\leq q\leq \infty}. \eex$$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-26 绝对值不等式)

$$\bex \sev{x}+\sev{y}+\sev{z}+\sev{x+y+z}\geq \sev{x+y}+\sev{y+z}+\sev{z+x}. \eex$$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 Grownall-type inequality)

Suppose that $$\bex \cfrac{\rd f}{\rd t}+h\leq gf\quad (f,g,h\geq 0,\ t\in [0,T]). \eex$$ Then for $t\in [0,T]$, $$\bex f(t)+\int_0^t h(s)\rd s \leq f(0)\sez{ 1+\int_0^t g(s)\rd s\cdot \exp\sex{\int_0^t g(s)\rd s} }. \eex$$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 Hardy 空间、BMO空间与 Triebel-Lizorkin 空间)

$$\bex 0<p<\infty\ra H_p=\dot F^0_{p,2};\quad BMO=\dot F^0_{\infty,2}. \eex$$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 向量公式)

$$\bex \n\times({\bf a}\times{\bf b})=({\bf b}\cdot\n){\bf a} -({\bf a}\cdot\n){\bf b}+{\bf a}(\n\cdot{\bf b})-{\bf b}(\n\cdot{\bf a}). \eex$$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 二阶导数估计 [中国科学技术大学2013年高等数学B 考研试题])

设 $f(x)$ 二阶连续可导, $f(0)=f(1)=0$, $\dps{\max_{0\leq x\leq 1}f(x)=2}$. 证明: $$\bex \min_{0\leq x\leq 1}f''(x)\leq -16. \eex$$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-23 积分不等式 [中国科学技术大学2013年高等数学B 考研试题])

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一阶连续可导, $f(a)=0$. 证明: $$\bex \int_a^b f^2(x)\rd x\leq \cfrac{(b-a)^2}{2}\int_a^b [f'(x)]^2\rd x -\cfrac{1}{2}\int_a^b [f'(x)]^2 (x-a)^2\rd x. \eex$$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-22 发散级数 [中国科学技术大学2012年高等数学B考研试题])

设 $a_n>0$, $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$, 级数 $\dps{\vsm{n}a_n}$ 发散, 证明: $\dps{\vsm{n}\cfrac{a_n}{S_n}}$ 发散.

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-22 积分不等式 [中国科学技术大学2012年高等数学B考研试题])

函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调减, 证明: 对于任何 $\al\in (0,1)$, $$\bex \int_0^\al f(x)\rd x\geq \al \int_0^1 f(x)\rd x. \eex$$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-22 最大值点处导数为零的应用 [中国科学技术大学2012 年高等数学B考研试题])

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=f(1)=0$, $f\sex{\cfrac{1}{2}}=1$. 证明:对于任意的实数 $\lm$, 一定存在 $\xi\in (0,1)$, 使得 $$\bex f'(\xi)-\lm f(\xi)+\lm f(\xi)=1. \eex$$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-22 函数恒为零的一个充分条件 [中国科学技术大学2011年高等数学B考研试题])

设 $f(x)$ 在 $\bbR$ 上连续, 又 $$\bex \phi(x)=f(x)\int_0^x f(t)\rd t \eex$$ 单调递减. 证明: $f\equiv 0$.

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-22 求极限 [中国科学技术大学2011年高等数学B考研试题])

设数列 $\sed{x_n}$ 满足 $0<x_1<\pi$, $x_{n+1}=\sin x_n\ (n=1,2,\cdots)$. (1) 证明 $\dps{\vlm{n}x_n}$ 存在, 并求其极限; (2) 计算 $\dps{\vlm{n}\sex{\cfrac{x_{n+1}}{x_n}}^{\frac{1}{x_n^2}}}$; (3) 证明 $\dps{\vlm{n}\sqrt{\cfrac{n}{3}}x_n=1}$.

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-22 不等式 [中国科学技术大学2011年高等数学B考研试题])

证明不等式: $$\bex 1+x\ln\sex{x+\sqrt{1+x^2}}>\sqrt{1+x^2},\quad x>0. \eex$$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-22 求导数 [中国科学技术大学2014年高等数学B考研试题])

设 $f(x)=x^2\ln(x+1)$, 求 $f^{(n)}(0)$.

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-21 向量公式)

$$\bex (\n\times{\bf b})\times{\bf b}=-\n\cfrac{|{\bf b}|^2}{2}+({\bf b}\cdot\n){\bf b}. \eex$$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-21 Beal-Kaot-Majda type logarithmic Sobolev inequality)

For $f\in H^s(\bbR^3)$ with $s>\cfrac{3}{2}$, we have $$\bex \sen{f}_{L^\infty}\leq C\sex{1+\sen{f}_{\dot B^0_{\infty,\infty}}}\ln \sex{1+\sen{f}_{H^s}},\quad s>\cfrac{3}{2}. \eex$$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-21 微分不等式)

Assume that $a$ is a positive constant, $x(t),y(t)$ are two nonnegative $C^1(\bbR^+)$ functions, and $D(t)$ is a nonnegative function, satisfying $$\bex \cfrac{\rd}{\rd t} (x^2+y^2)+D \leq a(x^2+y^2+x+y)D. \eex$$ If additionally, the initial data satisfy $$\bex x^2(0)+y^2(0)+\sqrt{2(x^2(0)+y^2(0))}<\cfrac{1}{a}, \eex$$ then, for any $t>0$, one has $$\bex x^2(t)+y^2(t)+x(t)+y(t)<x^2(0)+y^2(0)+\sqrt{2(x^2(0)+y^2(0))}<\cfrac{1}{a}. \eex$$ 

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-21 交换子估计)

$$\bex \sum_{|\al|\leq m}\sen{D^\al (fg)-(D^\al f)g}_{L^2} \leq C\sex{\sen{f}_{L^\infty}\sen{g}_{H^m}+\sen{f}_{H^{m-1}}\sen{\n g}_{L^\infty}}. \eex$$ 

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 求极限-L'Hospital 法则的应用) 

设 $f\in C[0,+\infty)$, $a$ 为实数, 且存在有限极限 $$\bex \vlm{x}\sez{f(x)+a\int_0^x f(t)\rd t}. \eex$$ 证明; $f(+\infty)=0$.

 

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 求极限-H\"older 不等式的应用)

设非负严格增加函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 有积分中值定理, 对于每个 $p>0$ 存在唯一的 $x_p\in (a,b)$, 使 $$\bex f^p(x_p)=\cfrac{1}{b-a}\int_a^b f^p(t)\rd t. \eex$$ 试求 $\dps{\vlm{p}x_p}$.

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 渐近等式中的待定常数)

计算以下渐近等式 $$\bex \int_0^1 \cfrac{x^{n-1}}{1+x}\rd x=\cfrac{a}{n}+\cfrac{b}{n^2}+o\sex{\cfrac{1}{n^2}}\quad(n\to\infty) \eex$$ 中的待定常数 $a,b$.

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 求极限---Jordan 不等式的应用)

证明: 当 $\lm<1$ 时, $\dps{\lim_{R\to+\infty} R^\lm\int_0^{\pi/2} e^{-R\sin\tt}\rd \tt=0}$.  

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 求极限---积分中值定理的应用)

证明: 当 $m<2$ 时, $\dps{\lim_{x\to 0^+}\cfrac{1}{x^m}\int_0^x \sin \cfrac{1}{t}\rd t=0}$.  

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 Beta 函数)

令 $\dps{B(m,n)=\sum_{k=0}^n C_n^k \cfrac{(-1)^k}{m+k+1}}$, $m,n\in\bbN^+$. (1) 证明 $B(m,n)=B(n,m)$; (2) 计算 $B(m,n)$.  

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 求积分)

设 $n\in\bbN^+$, 计算积分 $\dps{\int_0^{\pi/2} \cfrac{\sin nx}{\sin x}\rd x}.$  

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-20 积分号下求导)

设 $f\in C(-\infty,+\infty)$, 定义 $\dps{F(x)=\int_a^b f(x+t)\cos t\rd t}$, $a\leq x\leq b$. (1) 证明: $F$ 在 $[a,b]$ 上可导; (2) 计算 $F'(x)$.  

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-19 利用分部积分求函数值)

设 $f\in C^2[0,\pi]$, 且 $f(\pi)=2$, $\dps{\int_0^\pi [f(x)+f''(x)]\sin x\rd x=5}$. 求 $f(0)$.  

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-19 满足三个积分等式的函数)

设 $f$ 为 $[0,1]$ 上的连续非负函数, 找出满足条件 $$\bex \int_0^1 f(x)\rd x=1,\quad \int_0^1 xf(x)\rd x=a,\quad \int_0^1 x^2f(x)\rd x=a^2 \eex$$ 的所有 $f$, 其中 $a$ 为给定实数.  

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-19 微分等式的结论)

证明: $\dps{\int_0^{2\pi}\sex{\int_x^{2\pi}\cfrac{\sin t}{t}\rd t}\rd x=0}$.  

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-19 三维插值公式)

$$\bex \sen{f}_{L^q}\leq C\sen{f}_{L^2}^{\frac{3}{q}-\frac{1}{2}} \sen{\n f}_{L^2}^{\frac{3}{2}-\frac{3}{q}},\quad (2\leq q\leq 6). \eex$$ 

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-19 旋度公式)

$$\bex \curl(f\bbu)=\n f\times\bbu+f\curl \bbu. \eex$$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-19 两个分布积分)

For $2<q<\infty$, $$\beex \bea -\int \lap \bbu \cdot |\bbu|^{q-2}\bbu &=\int \p_iu_j \p_i\sex{|\bbu|^{q-2}u_j}\\ &=\int \p_iu_j \p_i|\bbu|^{q-2}u_j+\int \p_iu_j|\bbu|^{q-2}\p_iu_j\\ &=\cfrac{1}{2}\int \p_i|\bbu|^2\cdot \p_i|\bbu|^{q-2} +\int |\bbu|^{q-2}|\n\bbu|^2\\ &=\cfrac{q-2}{2}\int |\bbu|\p_i|\bbu|\cdot |\bbu|^{q-3}\p_i|\bbu| +\int |\bbu|^{q-2}|\n\bbu|^2\\ &=\cfrac{q-2}{2}\int |\bbu|^{q-2}|\n|\bbu||^2 +\int|\bbu|^{q-2}|\n\bbu|^2\\ &=\cfrac{2(q-2)}{q^2}\int ||\bbu|^{\frac{q}{2}-1}|^2 +\int |\bbu|^{q-2}|\n\bbu|^2;\\ \cfrac{\rd}{\rd t}|\bbu|^q &=\cfrac{\rd}{\rd t}(|\bbu|^2)^\frac{q}{2}\\ &=\cfrac{q}{2}(|\bbu|^2)^{\frac{q}{2}-1}\cdot 2\bbu\cfrac{\rd \bbu}{\rd t}\\ &=q|\bbu|^{q-2} \bbu \cdot \cfrac{\rd \bbu}{\rd t}. \eea \eeex$$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-18 积分、微分不等式)

设 $f$ 为 $[0,1]$ 上的连续正函数, 且 $\dps{f^2(t)\leq 1+2\int_0^t f(s)\rd s}$. 证明: $f(t)\leq 1+t$.

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-18 微分、积分中值定理一起来)

 

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上可微, 且满足条件 $\dps{f(1)=3\int_0^{1/3} e^{x-1}f(x)\rd x}$, 证明: 存在 $\xi\in (0,1)$, 使得 $f(\xi)+f'(\xi)=0$.

 

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-15 右半实轴上的一致连续函数)

(from Longji Zhong) 设 $f$ 在 $(0,\infty)$ 上一致连续, 且对 $\forall\ h>0$, $\dps{\vlm{n}f(nh)}$ 存在. 试证: $\dps{\vlm{x}f(x)}$ 存在.

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-14 自然数集到自身的两个不可交换的双射) 

(from Yanfei Dai) 设 $M$ 为自然数集, 试给出 $M$ 的两个双射变换 $\sigma,\tau$ 使得 $\sigma \tau\neq \tau\sigma$.

 

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-14 [四川师范大学 2014 年数学分析考研试题] 积分不等式)

设函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上有连续的二阶导数且 $f(0)=f(1)=0$, 但 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上不恒等于零. 证明: $$\bex |f(x)|\leq \cfrac{1}{4}\int_0^1 |f''(x)|\rd x,\quad \forall\ x\in [0,1]. \eex$$ 

 

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-03 华罗庚等式)

在 [赵春来, 徐明曜, 《抽象代数I》, 习题 1.3, Page 46] 有华罗庚等式: $$\bex AB\neq 0,E\ra A-\sex{A^{-1}+\sex{B^{-1}-A}^{-1}}^{-1}=ABA. \eex$$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-03 微分、积分中值定理的应用)

设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内二阶可导, 且 $$\bex \lim_{x\to 0}\cfrac{f(x)}{x^2}\mbox{ 存在,}\quad \int_0^1 f(x)\rd x=f(1). \eex$$ 证明: 存在 $\xi\in (0,1)$, 使得 $f''(\xi)+2\xi f'(\xi)=0$.   

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-03 一个积分的计算)

试计算 $\dps{\int_0^{\cfrac{\pi}{2}}\cfrac{x^2}{\sin^2x}\rd x}$.   

 

[再寄小读者之数学篇](2014-06-03 计算两个无穷级数)

(from zhangwuji) $$\bex \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{n^3+2n+1}{(n^4+n^2+1)n!},\quad \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{(n^4+n^2+1)n!}. \eex$$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-05-30 存在无穷多个函数, 其复合为恒等函数)

试说明能有无穷多个函数, 其中每个函数 $f$, 皆使得 $f\circ f$ 为 $\bbR$ 上的恒等函数.

 

[再寄小读者之数学篇](2014-05-30 有限无界函数)

是否存在这样的函数, 它在区间 $[0,1]$ 上每点取有限值, 在此区间的任何点的任意邻域内无界. (上海师范大学) 

 

[再寄小读者之数学篇](2014-05-30 对数不等式)

(对数不等式) $$\bex \cfrac{x}{1+x}\leq \ln(1+x)\leq x\quad(x>-1), \eex$$ 等号当且仅当 $x=0$ 时成立.

 

[再寄小读者之数学篇](2014-05-30 平均值不等式)

(平均值不等式) 任意 $n$ 个非负实数的几何平均值小于或等于它们的算术平均值, 即 $\forall\ a_i\geq 0\ (i=1,2,\cdots,n)$, 恒有 $$\bex \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\leq \cfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}, \eex$$ 且其中的等号当且仅当 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 时成立.

 

[再寄小读者之数学篇](2014-05-29 有界闭区域上的有界函数的导函数一定有有界吗?) 

(from F.L. Lan) 有界闭区域上的有界函数的导函数一定有有界吗?

 

 

[再寄小读者之数学篇](2014-05-29 单调函数的一个充分条件)

(from D.Y. Peng) 设 $f$ 为区间 $I$ 上的可微函数, 满足微分方程 $$\bex f'(x)=g(f(x)),\quad x\in I, \eex$$ 其中 $g$ 是在 $f$ 的值域上有定义的连续函数. 证明: $f$ 一定是单调函数. 

 

 

 

[再寄小读者之数学篇](2014-05-28 Ladyzhenskaya 不等式)

$$\bex f\in C_c^\infty(\bbR^2)\ra \sen{f}_{L^4}\leq \sqrt{2} \sen{f}_{L^2}^{1/2} \sen{\p_1f}_{L^2}^{1/4} \sen{\p_2f}_{L^2}^{1/4}, \eex$$ $$\bex f\in C_c^\infty(\bbR^3)\ra \sen{f}_{L^4}\leq 2^{3/4} \sen{f}_{L^2}^{1/4} \sen{\p_1f}_{L^2}^{1/4} \sen{\p_2f}_{L^2}^{1/4} \sen{\p_3f}_{L^2}^{1/4}. \eex$$ 

 

[再寄小读者之数学篇](2014-05-27 无穷乘积的计算)

 (from yqs210)

$$(1+\frac{1}{1*2}) (1+\frac{1}{2*3}) (1+\frac{1}{3*4}).......(1+\frac{1}{n*(n+1)}) =? $$
$$(1+\frac{1}{1^2} )(1+\frac{1}{2^2} )(1+\frac{1}{3^2} )......(1+\frac{1}{n^2} )=?$$
$$(1+\frac{1}{2^1} )(1+\frac{1}{2^2} )(1+\frac{1}{2^3} )......(1+\frac{1}{2^n} )=?$$

 

或者

 

$$(1+p_1)(1+p_2)(1+p_3)......(1+p_n)=?$$
其中 $\lim_{ n\to \infty} \frac{\ln (1+p_n)}{p_n}=1$.

 

说明： $(1+p_1)(1+p_2)(1+p_3)......(1+p_n)$的收敛性与 $\sum_{k=1}^n p_k$相同, 但是和不同.

 

其中两边取对数的方法, 并使用 $\lim_{ n\to \infty} \frac{\ln (1+p_n)}{p_n}=1$, 可知三数列积是收敛的.

 

 

 

[再寄小读者之数学篇](2014-05-27 矩阵的迹与 Jacobian)

(from MathFlow) 设 $A=(a_{ij})$, 且定义 $$\bex \n_A f(A)=\sex{\cfrac{\p f}{\p a_{ij}}}. \eex$$ 试证: (1) $\n_A\tr (AB)=B^t$; (2) $\n_A \tr(ABA^tC)=CAB+C^tAB^t$.

 

[再寄小读者之数学篇](2014-05-27 偏导数的计算)

已知  $$\bex u(x,t)=\cfrac{1}{2}\int_0^1\rd \eta \int_{x-t+\eta}^{x+t-\eta}f(\xi,\eta)\rd \xi, \eex$$ 且 $f(\xi,\eta)$, $f_\xi(\xi,\eta)$ 连续. 试求 $\cfrac{\p ^2u}{\p t^2}-\cfrac{\p ^2u}{\p x^2}$.

 

[再寄小读者之数学篇](2014-05-27 积分估计)

试证: $\dps{\int_0^{k\pi} \cfrac{|\sin x|}{x}\rd x> \cfrac{2}{\pi}\ln\cfrac{k+1}{2}}$.

 

[再寄小读者之数学篇](2014-05-27 二阶矩阵的不等式)

(来自质数) 设$ A,B  $ 都是实数域上的两个二阶方阵, 且 $AB=BA$.  证明：对于任意实数 $x,y,z$,有 $$ 4xz\det(xA^2+yAB+zB^2)\geq (4xz-y^2)(x\det(A)-z\det(B))^2 $$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-05-27 特征值估计)

(来自 james2009) 设$A\in {M}_{n}\left( \mathbb{R}\right)$,${A}^{'}A$ 的全部特征值中: 最大值的设为${\lambda }_{max}$, 最小值的设为 ${\lambda }_{min}$. 问下述结论是否成立: $A$ 属于 $\mathbb{C}$ 的任意特征值 $\xi$ 有： $$\bex \sqrt{\lm_{min}}\leq |\xi|\leq \sqrt{\lm_{max}}. \eex$$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-05-26 计算行列式)

(来自 succeme) $A$是给定的方阵，特征值已知，其他小写字母为复数，用$A$的特征值表出下列行列式的值： \[ \begin{pmatrix} b_0E & b_1A &b_2A^2 &\cdots &b_{n-1}A^{n-1} \\ ab_{n-1}A^{n-1} &b_0E & b_1A &\cdots & b_{n-2}A^{n-2} \\ ab_{n-2}A^{n-2} & ab_{n-1}A^{n-1} & b_0E & \cdots & b_{n-3}A^{n-3} \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots & \cdots \\ ab_1A & ab_2A^2 & ab_3A^3 &\cdots &b_0E \end{pmatrix} \]

 

[再寄小读者之数学篇](2014-05-25 矩阵的交换子)

(来自质数) 设 $ \mathbf V=\Bbb F_{n\times n}$ 是域 $\Bbb F$ 上所有 $n$ 阶矩阵组成的向量空间 (这里$\Bbb F=\Bbb R$ 或者 $ \Bbb C$). 证明所有形如 $MN-NM$ 的矩阵形成一个线性空间.

 

[再寄小读者之数学篇](2014-05-25 非线性递归数列的敛散性)

数列$\begin{Bmatrix} {x}_{n} \end{Bmatrix}$满足如下定义: $$a>0,\quad b>0; \qquad {x}_{1}=a,\quad{x}_{2}=b ;\qquad {x}_{n+2}=2+\cfrac{1}{{x}_{n+1}^{2}}+\cfrac{1}{{x}_{n}^{2}},\qquad n\geq 1.$$ 讨论该数列 $\begin{Bmatrix} {x}_{n} \end{Bmatrix}$ 的敛散性.

 

[再寄小读者之数学篇](2014-05-23 递增函数的右极限)

设 $f(x)$ 是定义在 $[a,b]$ 上的增函数. 再设 $x_0\in [a,b)$, 而点列 $\sed{x_n}$ 满足: $x_n>x_0$, $\dps{\vlm{n}x_n=x_0}$. 求证: $\dps{\vlm{n}f(x_n)}$ 存在.

 

[再寄小读者之数学篇](2014-05-23 lnx−ax=0 有两个根时的估计)

已知函数 $f(x)=\ln x-ax$, 其中 $a$ 为常数. 如果 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$. 试证: $x_1x_2>e^2$.

 

[再寄小读者之数学篇](2014-05-20 一个分部积分)

$$\bex\int \lap f|f|^{q-2}f\rd x=-\cfrac{4(q-1)}{q^2} \int| \n |f|^{\frac{q}{2}} |^2\rd x. \eex$$ 

 

[再寄小读者之数学篇](2014-05-18 从正定矩阵构造正定矩阵)

设 ${\bf A}$ 为 $n$ 阶正定矩阵, ${\bf x}$, ${\bf y}$ 为 $n$ 维列向量且满足 ${\bf x}^t{\bf y}>0$. 证明矩阵 $$\bex {\bf M}={\bf A}+\cfrac{{\bf x}{\bf x}^t}{{\bf x}^t{\bf y}} -\cfrac{{\bf A}{\bf y}{\bf y}^t{\bf A}}{{\bf y}^t{\bf A}{\bf y}} \eex$$ 正定. 

 

[再寄小读者之数学篇](2014-05-12 曲线的弧长计算)

试求曲线 $6xy=3+x^4$ 在 $x=1$, $x=2$ 之间的弧段的长度.  

 

[再寄小读者之数学篇](2014-04-23 行列式的导数)

设 $A(t)=(a_{ij}(t))$ 中每个 $a_{ij}(t)$ 都是可导的, 则  $$\bex \cfrac{\rd}{\rd t}|A(t)|=|A|\tr \sez{A^{-1}\cfrac{\rd A}{\rd t}}. \eex$$ 

 

[再寄小读者之数学篇](2014-04-22 平方差公式在矩阵中的表达)

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶复方阵, 且 $A^2+B^2=2AB$. 证明:  

(1)  $AB-BA$ 不可逆;  

(2)  如果 $\rank(A-B)=1$, 那么 $AB=BA$. 

 

[再寄小读者之数学篇](2014-04-20 [苏州大学数学专业考研复试试题] 解析函数有特定表达式的一个充分条件)

设 $f$ 在 $D=\sed{z\in\bbC;\ |z|\leq 1}$ 上除点 $z_0\in D$ 外处处解析, 且满足

(1) 在 $D$ 内 $f$ 没有零点;

(2) $z\in \p D\ra f(z)\in \p D$;

(3) $z_0$ 是 $f$ 的一阶极点.

证明: $$\bex \exists\ \tt\in \bbR,\st f(z)=e^{i\tt}\cfrac{1-\bar z_0z}{z-z_0}. \eex$$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-04-20 [浙江大学 2014 年高等代数考研试题] 相似于对角阵的一个充分条件)

设 ${\bf X},{\bf Y}$ 分别为 $m\times n$ 与 $n\times m$ 阵, 且 $$\bex {\bf Y}{\bf X}={\bf E}_n,\quad {\bf A}={\bf E}_m+{\bf X}{\bf Y}. \eex$$ 证明: ${\bf A}$ 相似于对角阵.

 

[再寄小读者之数学篇](2014-04-18 from [email protected] [南开大学 2014 年高等代数考研试题]反对称矩阵的组合)

设 ${\bf A},{\bf B}$ 都是反对称矩阵, 且 ${\bf A}$ 可逆, 则 $|{\bf A}^2-{\bf B}|>0$.

 

[再寄小读者之数学篇](2014-04-18 from [email protected] [南开大学 2014 年高等代数考研试题]特征多项式的互素分解)

设 $f(x)$ 为 ${\bf A}$ 的特征多项式, 且存在互素的次数分别为 $p,q$ 的多项式 $g(x),h(x)$ 使得 $f(x)=g(x)h(x)$. 求证: $$\bex \rank g({\bf A})=q,\quad \rank h({\bf A})=p. \eex$$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-04-18 from [email protected] [南开大学 2014 年高等代数考研试题]可交换的线性变换)

设 $\sigma,\tau$ 为线性变换, 且 $\sigma$ 有 $n$ 个不同的特征值. 证明: 若 $\sigma\tau=\tau\sigma$, 则 $\tau$ 可由 $I$, $\sigma$, $\sigma^2$, $\cdots$, $\sigma^{n-1}$ 线性表出, 其中 $I$ 为恒等变换.

 

[再寄小读者之数学篇](2014-04-18 from [email protected] [南开大学 2014 年高等代数考研试题]二次型的零点)

设 ${\bf A}$ 为实对称矩阵, 存在线性无关的向量 ${\bf x}_1,{\bf x}_2$, 使得 ${\bf x}_1^T{\bf A}{\bf x}_1>0$, ${\bf x}_2^T{\bf A}{\bf x}_2<0$. 证明: 存在线性无关的向量 ${\bf x}_3,{\bf x}_4$ 使得 ${\bf x}_1,{\bf x}_2,{\bf x}_3,{\bf x}_4$ 线性相关, 且 ${\bf x}_3^T{\bf A}\bbx_3={\bf x}_4^T{\bf A}{\bf x}_4=0$.

 

[再寄小读者之数学篇] (2014-04-18 from [email protected] [南开大学 2014 年高等代数考研试题]一个秩等式)

设 ${\bf A}$ 为 $s\times n$ 矩阵. 证明: $$\bex s-\rank({\bf E}_s-{\bf A}{\bf A}^T)=n-\rank({\bf E}_n-{\bf A}^T{\bf A}). \eex$$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-04-18 from [email protected] [南开大学 2014 年高等代数考研试题]行列式的计算)

设 $n$ 阶行列式 $\sev{\ba{cccc} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \ea}=1,$ 且满足 $a_{ij}=-a_{ji}, i,j=1,2,\cdots,n$. 对任意的 $x$, 求 $n$ 阶行列式 $\sev{\ba{cccc} a_{11}+x&\cdots&a_{1n}+x\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}+x&\cdots&a_{nn}+x \ea}.$ 

 

[再寄小读者之数学篇](2014-04-08 from [email protected] sinx−xcosx=0 的根的估计)

设方程 $\sin x-x\cos x=0$ 在 $(0,+\infty)$ 中的第 $n$ 个解为 $x_n$. 证明: $$\bex n\pi+\cfrac{\pi}{2}-\cfrac{1}{n\pi} <x_n<n\pi+\cfrac{\pi}{2}. \eex$$

 

[再寄小读者之数学篇](2014-04-01 from [email protected] 曲线积分)

求 $\int_\vGa y^2\rd s$, 其中 $\vGa$ 由 $\dps{\sedd{\ba{rl} x^2+y^2+z^2&=a^2\\ x+z&=a \ea}}$ 决定.