70. Climbing Stairs

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.

Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?

Solution:

一开始想到了递归的办法，但是居然 TLE 了。想想也是，testcase 是44，每一步都有两种走法，复杂度为 O(2^N):

public class Solution 
{
    public int count = 0;
    public int climbStairs(int n) 
    {
        climbStairsHelper(n);
        return count;
    }

    public void climbStairsHelper(int n)
    {
        if(n == 0)
            count++;
        else if(n < 2)
            climbStairsHelper(n - 1);
        else
        {
            climbStairsHelper(n - 2);
            climbStairsHelper(n - 1);
        }
    }
}

在这里递归解法的问题就是当前递归较小规模的问题，会在后面较大规模的问题时重复求解小规模的问题，无法利用之前得到的结论。

看了 Discuss，这不是裴波那契数列么……
但要注意的是数列的开始并非1，1，2……，要根据题意有所改变，处理0级台阶（也就是说如果一共有n 级台阶要上，stage 的总数量应该是 n+1， 要包括第0级这种边界 case）：
0个台阶时有0种办法，
1个台阶时有1种办法，
2个台阶时有2种办法，
3个台阶后：
要到第3个台阶，需要先到第二个台阶，然后跨一级；
或者，需要先到第二个台阶，然后跨两级；
所以上第三级台阶的办法数就是上第二级的办法数+上第一级的办法数
……
以此类推。