机器学习入门——泛化能力性能度量

对比不同模型的泛化能力时，采用不同的度量方法，往往得到不同的结果，所以什么样的数据模型是好的，不仅取决于算法和数据，还取决于任务需求。下面是回归任务和分类任务常用的性能度量。

回归任务

分类任务

仿照回归任务，分类任务也可以写成更一般的形式，比如错误率：

错误率

Ⅱ（输入）表示的是指示函数，在输入为真时输出1，输入为假时，输出0

查准率、查全率与F1

在信息检索中，如果我们关心“检索出的信息中有多少比例是用户感兴趣的”，如果看成二分类问题，给检索出的信息视为（预测）正例，用户感兴趣的为真正的正例，两者的交集占检索出的信息的比例，我们称为查准率，表示我们得到的数据是否尽可能的准确（正确分类的占比高，被误分类的占比低）。同理，查全率表示的是真实的正例中是否尽可能多的被找出来了。

查准率与查全率

一般来说，查准率高，查全率会比较低，查全率高，查准率会比较低，如下图所示：

P-R曲线

P-R曲线的画法：将学习器的预测结果对样例进行排序，排在最前面的是学习器认为最可能的正例样本，按此顺序从前往后逐个把样本作为正例，逐次计算当前的查准率和查全率，绘制在图中即得到P-R曲线。对于不同的学习器（算法/模型）可以得到不同的P-R曲线，如果一个曲线将另一个曲线包住了，那么外面的这个学习器认为是好的，但当两个曲线有交叉的时候，可以画出如图一条斜线，得到三个平衡点（BEP），它是查准率=查全率时的取值，可认为A优于B。

如果认为BEP过于简单化，可以使用F1度量，当对查准率和查全率的重视程度不同时，使用F1度量更一般化的形式Fβ度量。更多关于n个二分类混淆矩阵对查准率和查全率的综合考察，参考周志华老师的《机器学习》第32-33页。

ROC 与 AUC

ROC全程称是“受试者工作特征”（Receiver Operating Characteristic）,我们利用ROC曲线比较不同学习器的性能优劣。若一个学习器的ROC曲线被另一个学习器曲线包住，则可断言后者性能优于前者，若两个学习曲线发生交叉，则比较两个ROC曲线下的面积，AUC（Area Under ROC Curve）。

ROC曲线与AUC

ROC曲线的画法
首先定义真正例率（TPR）和假正例率（FPR）：

image.png

假设有10个样本，里面有5个正例和5个反例。学习器会对测试样本产生一个预测的概率值，然后将这个预测值与一个分类阈值进行比较，若大于阈值则分为正类，否则分为反类。假设这10个样本的预测值分别如下：

正例预测结果概率为（0.9, 0.8, 0.5, 0.4, 0.3）;
反例预测结果概率为（0.7, 0.6, 0.2, 0.1, 0.01）;

实际上，可以根据预测值将样本进行排序（既可以升序，也可以降序）

红色为正例概率，黑色为反例概率。

一般的，给定m⁺个正例和m^-个反例，排序完成后，把分类阈值设为最大，即把所有样例均预测为反例（在此处假设分类阈值左边为正例，右边为反例），此时真正例率和假正例率均为0，坐标点在（0， 0）处。然后将分类阈值依次向右移动设为每个样例的预测值，即依次将每个样例划分为正例。设前一个标记点坐标为（x, y），当前若为真正例，则对应标记点坐标为

当前若为假正例，则对应标记点坐标为

然后用线段连接相邻点即可。

关于当前坐标的推导过程：下面给出第一种情况的推导过程，第二种情况也是类似的。

所以就得到了真正例率发生变化，而假正例率没有变化的新的坐标点。

回到我们的例子，根据阈值的移动和坐标点的计算方法，可以画出如下图形：

ROC曲线

可以观察到，每个虚线所框出的方格面积为

所以反例概率比正例概率大的情况共有3*2=6种，所以排序损失对应ROC 曲线之上的6个方格的面积

反例概率比正例概率大的情况：
正例预测结果概率为（0.9, 0.8, 0.5, 0.4, 0.3）;
反例预测结果概率为（0.7, 0.6, 0.2, 0.1, 0.01）;
0.7 > 0.5, 0.4, 0.3; 0.6 > 0.5, 0.4, 0.3
所以说共有6种。

再考虑另一种情形：

依然有5对正反例：

正例预测结果概率为（0.9, 0.8, 0.5, 0.4, 0.3）;
反例预测结果概率为（0.7, 0.5, 0.2, 0.1, 0.01）;

那么总排序可以有两种情况为（红色为正例概率，黑色为反例概率）：

故 ROC 曲线有相应的两种情况（红色和绿色分别对应情况一与二）：

ROC曲线

这时，反例概率比正例概率大的情况共有1+2*2=5种，而反例概率与正例概率相同的情况可认为各占一半，所以得出总的排序损失为

所以排序损失可以定义为：

我对排序损失的理解（不一定正确）：因为我们用阈值给已排序的样本划分正反例，如果反例概率比正例概率大，那么就可能将反例预测为正例，正例预测为反例，这会导致与真实情况不符，故应当将这个指标作为一种“处罚”指标。

另外，通过微分的思想，可以很容易的得到AUC的公式：

在现实任务中，不同类型的错误所造成的后果不同，比如医疗诊断中，将患者错误的诊断为健康所造成的后果相当严重，日常翻译中翻译错一个单词往往不会带来太大的损失，所以不同类型的错误会造成不同的损失，应当为错误赋予“非均等”代价。

以二分类认为为例，有以下代价矩阵

我们往往希望最小化总体代价，“代价敏感”的错误率可表示为：

但是，在非均等代价下，ROC曲线就不能直接反映出学习器的期望总体代价，可以用“代价曲线”表示。

其中正例概率代价

p是样例为正例的概率，纵轴是取值为[0, 1]的归一化代价

FNR = 1 - TPR，是假反例率。代价曲线的绘制：ROC 由线上每…点对应了代价平面上的二条线段7 设ROC 曲线上点的坐标为(TPR， FPR) ，则可相应计算出FNR，然后在代价平面上绘制一条从(O ， FPR) 到(l ， FNR) 的线段，线段下的面积即表示了该条件下的期望总体代价;如此将ROC 曲线土的每个点转化为代价平面上的一条线段，然后取所有线段的下界，围成的自积即为在所有条件下学习器的期望总体代价。

参考：《机器学习》周志华
作者：JohnnyMa
链接：https://www.zhihu.com/question/265364451/answer/302612819
来源：知乎

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