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- [引言]关于无限的理解
- 什么是无限
- 极限
首先，是关于无限的理解：
[引言]关于无限的理解
证明这样一个命题，\(2.999\dots =3\)
首先，设\(x=2.9999\dots\)
则\(10x=29.999\dots\)
两数之差：
\(\qquad10x=29.999\dots\)
\(-\qquad\;x=2.999\dots\)
\(\overline{\qquad\qquad\qquad}\)
\(\qquad\ \ 9x=27\)
解得：\(x=\dfrac{27}{9}=3\)
所以：\(2.999\dots=3\)
而不是\(2.999\dots\approx 3\)
因为\(2.999\dots=3\)和\(0.999\dots = 1\)是一个意思。
所以\(0.999\dots =1\)。
但有的读者就会觉得
严格来说 \(0.999\dots\)要比\(1\)稍微小一点吧?
但是实际上：
\[0.9<1\]
\[0.99<1\]
\[0.999<1\]
\[0.99\dots 9<1\]
看到这里，思维敏锐的读者可能会灵光一闪：
\[0.99\dots 9<1\]
但是
\[0.99\dots ＝1\]
这两个小数非常接近，可\(\dots\)的意思不同。
\(0.99\dots 9\)中，\(\dots\)代表有多到写不下的\(9\)，但是非要写还是能写的。
而\(0.99\dots\)中，\(\dots\)代表有无穷无尽的\(9\)循环下去，怎么写都写不完(QAQ)。
换一种说法：
\(0.99\dots 9\)代表 有限 的\(9\)
\(0.99\dots\)代表 无限 的\(9\)
也就是说，小数点后如果是有限的\(9\)，则它比\(1\)小。
但是小数点后如果有无限个\(9\)的话就等于\(1\)！。
什么是无限
说到底，"无限"到底是什么呢？根据直观理解，大多数人都认为是"没有限度"的意思。而对于无穷大(\(\infty\))的理解，就是"比任何数都大的数"这种模糊的概念。但是只有这种程度的概念，是无法理解"\(0.999\dots=1\)"的。
需要引起注意的是，有限的数不管怎么放大都不可能变成无穷大。比如一兆的一兆次方(\((10^{12})^{(10^{12})}\))，是大到连名字也没有，甚至难以理解。但是即使这样，也并非无穷大（宇宙的大小也并非无穷大）。这是因为有限的世界和无限大之间是没有联系的。这两者之间有一道不可跨越的障壁。
要跨越这道障壁，就需要一个"魔法道具"：极限(\(limit\))。将\(x\)放到无穷大的过程，可以写为：
\[\lim_{x\rightarrow\infty}\]