线性变换及其与矩阵的关系——线性代数的本质（三）

Unfortunately, no one can be told what the Matrix is. You have to see it for yourself.

-- Morpheus

线性变换 Linear transformation

通常我们说 变换（transformation）时，实际上指的是函数（function）— ，给它一定的输入，它会产生相应的输出。在线性代数的场景中，变换（transformation）可以想象为输入某个向量，然后输出另一个向量的过程。

如果是这样，为什么使用变换（transformation）这个词，而不直接使用函数（function）呢？因为变换有移动的含义在里面，而更好的理解输入向量到输出向量的过程的方式是移动向量。

如果一个变换（transformation）接收一个输入向量，并输出一个新的向量，我们可以想象它是从输入的向量 （vector）移动到了输出的向量（vector）。然后我们把这种变换当做一个整体来理解，想象整个平面内任何向量（vectors）都随着这个变换（transformation）发生了各自的移动，等同于平面内所有的点随着该变换（transformation）移动到了另一个点。

而线性代数中的线性变换（Linear transformation）是一种更易理解的、特殊的变换，它具备两个的条件:

1. 向量在变换后仍然是直线，不会被扭曲；
2. 原点不会发生移动。

把一个平面想象为彼此间均匀且平行的网格，线性变换会让网格中的线条依然保持平行且均匀。例如下图是细实线组成的空间变换到粗实线组成的空间后的样子：

矩阵 Matrix

理解了线性变换后，我们如何用数学的方式来表示它呢？这样我们就可以把这个“公式”制作成计算机程序，然后输入一个向量的坐标，它就会给我们返回变换后的向量的坐标。

实际上你只需要记录两个基本向量变换后的向量即可，也就是 和 变换后的向量 和 ，因为所有向量都可以由基向量通过乘法和加法表示而来，所以任何向量变换后的结果也可以由变换后的基本向量 和 计算得出，这归因于刚才说的线性变换所具备的两个重要的条件，正是因为这两个条件，其他向量和基向量间的比例才能在变换后依然得以保持，即只要是线性变换，在新的空间中， 和 依然是 1 个单位长度（相对来说）的基向量。

举个例子，例如向量 在变换前为 ，由于线性变换的平行和均匀的特性，在 和 变换后，新向量的计算方式为：

可以看到，虽然进行了线性变换，但变换前后，相同向量的线性组合并没有发生变化。所以，只要我们知道了 和 在变换后的位置，我们就可以推断其他的向量的变换情况，而不需要专门的观察所有其他向量的变换情况。具体一点，假设有这样的变换， 变换到 ，而 变换到 ，对于任意向量 而言，在变换后它将落在，如下：

结论是，在二维空间中，线性变换仅需要用 4 个数字来表示，即 对应的两个坐标和 对应的两个坐标 ，一般我们把它们放到一个2乘2的“矩阵”中，即

左边的 是 变换后的向量，而右边的 是 变换后的向量，这就是矩阵真正的来历——它只是用来表示线性变换的方式而已。而对于原向量空间中的向量 ，根据线性组合，我们便知道其变换后的向量为

同样为了方便我们记录，我们通常把上面的式子定义为：

即把矩阵放在原向量的左边，就像这个向量的函数一样，把式子写完整，如下：

看到上面的式子，会不会感觉很熟悉，这就是我们在教科书中学到的矩阵向量的乘法，现在你知道这个计算背后的意义了吧：它只是用来计算空间变换给指定向量带来的变化的工具而已。而本文的重点是：一旦今后你看到了矩阵，你便可以将其解释为空间的一种特定的转换，理解了这一点，线性代数的一切都好理解了。

参考：

• Linear transformations and matrices