导数的运算
1、常见函数的导数公式：
常数函数的导数：；
幂函数的导数：；
如下：；
三角函数的导数：；
对数函数的导数：
指数函数的导数：
2、求导数的法则
（1）和与差函数的导数：．
由此得多项式函数导数
（2）积的函数的导数：,
特例[C·f(x)]'＝Cf'(x)。
如：已知函数的导数为，则_____（答：）；
函数的导数为__________（答：）；
若对任意，，则是______（答：）
（3）商的函数的导数：
例1、求下列导数
（1）y＝
；（2）y＝x · sin x · ln x；
（3）y＝；（4）y＝．
解：（1）∵y＝
＝
∴
（2）y'＝(x · sin x · ln x) '＝(x · sin x) ' · ln x+(x · sin x )( ln x) '
＝[x'sinx+x(sinx) ']·lnx+(x · sin x )
＝[sinx+xcosx]lnx+sinx
如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数前的变形，目的在于简化运算；求导数后应对结果进行整理化简．
（3）y'＝
（4）∵y＝＝
∴y'＝
例2、求函数的导数
y＝（2 x2－5 x＋1）ex
y＝
解：y'＝（2 x2－5 x＋1）′ex＋（2 x2－5 x＋1）(ex)′＝(2x2－x－4)ex
∴y'
例3、已知曲线C：y＝3 x4－2 x3－9 x2＋4
（1）求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；
（2）第（1）小题中切线与曲线C是否还有其他公共点？
解：（1）把x＝1代入C的方程，求得y＝－4．
∴切点为（1，－4）．
Y'＝12 x3－6 x2－18 x，
∴切线斜率为k＝12－6－18＝－12．
∴切线方程为y＋4＝－12（x－1），即
y＝－12 x＋8．
由得
3 x4－2 x3－9 x2＋12 x－4＝
(x－1)2(x＋2) (3 x－2)＝
x＝1，－2，．
代入y＝3 x4－2 x3－9 x2＋4，求得y＝－4，32，，即公共点为（1，－4）（切点），（－2，32），（，）．
除切点外，还有两个交点（－2，32）、（，）．
直线和圆，直线和椭圆相切，可以用只有一个公共点来判定．一般曲线却要用割线的极限位置来定义切线．因此，曲线的切线可以和曲线有非切点的公共点．
例4、曲线S：y＝x3－6 x2－x＋6哪一点切线的斜率最小？
设此点为P（x，y）．证明：曲线S关于P中心对称．
解：y'＝3 x2－12 x－1
当x＝＝2时，y′有最小值，故x＝2，
由P∈S知：y＝23－6 · 22－2＋6＝－12
即在P（2，－12）处切线斜率最小．
设Q（x，y）∈S，即y＝x3－6 x2－x＋6
则与Q关于P对称的点为R（4－x，－24－y），只需证R的坐标满足S的方程即可．
(4－x)3－6(4－x)2－(4－x)＋6
＝64－48 x＋12 x2－x3－6（16－8 x＋x2）＋x＋2
＝－x3＋6 x2＋x－30
＝－x3＋6 x2＋x－6－24
＝－y－24
故R∈S，由Q点的任意性，S关于点P中心对称．
求切点时，要将取最小值的x值代回原方程．
例5、一质点的运动方程为s(t)＝asint+bcost(a>0)，若速度v(t)的最大值为，且对任意的t∈R,在t＝t与t＝－t时速度相同，求a、b的值。
解：v(t)＝s(t)＝acost－bsint
∵v(t)的最大值为∴a2+b2＝
又∵在t＝t与t＝－t时速度相同
∴(a+b)(cost－sint)＝且对任意的t∈R且a>0
∴(a+b)＝，∴a＝，b＝－
用导数证明不等式，关键在于构造函数，然后在相应区间上用导数的相关知识判别其单调性，再利用单调性得到所证明的不等式。
例1、已知x∈（，），
求证：sinx＜x＜tanx。
证明：构造函数
f(x)=x－sinx，
g(x)=tanx－x，x∈（，），
则f'(x)=1－cosx＞，
g'(x)=sec2x－1＞。
所以f(x)，g(x)在（，）内是单调递增函数，故f(x)＞f(0)=0，g(x)＞g(0)=0，
即x＞sinx，tanx＞x，
故sinx＜x＜tanx。
例2、已知m，n为正整数，且1＜m＜n。求证：（1+m）n＞(1+n)m。
分析：将待证不等式两边取对数，得nln(1+m)＞mln(1+n)，即证明成立即可。
证明：构造函数
f(x)=
，求导，得，所以f(x)在［2，+∞）上是减函数。由2≤m＜n知f(m)＞f(n)，
即，
nln(1+m)＞mln(1+n)，
所以ln(1+m)n＞ln(1+n)n，即（1+m）n＞(1+n)m。
例3、已知函数f(x)=x(x－a)(x－b)，其中＜a＜b，设f(x)在x=s及x=t取到极值，其中s＜t，求证：＜s＜a＜t＜b。
证明：易求得
f'(x)=3x2－2(a+b)x+ab。由f(x)在x=s及x=t取到极值，知s，t是二次方程f'(x)=0的两实根，
又f'(0)=ab＞，
f'(a)=a2－ab=a(a－b)＜0,
f'(b)=b2－ab=b(b－a)＞0,即f'(x)=0在区间（，a）与（a，b）内分别有一个实根。由s＜t及s，得二次方程f(x')=0的两实根，得＜s＜a＜t＜b。
例4、设函数f(x)=ln(1+x)-x，
g(x)=xlnx，＜a＜b，
证明：＜g(a)+g(b)－2g()＜(b－a)ln2。
证明：由g(x)=xlnx，得g'(x)=lnx+1。构造函数F（x）=g(a)+ g(x)-2g()，则F'(x)=g'(x)-2[g()]'=lnx-ln。
当＜x＜a时，F'(x)＜，所以F(x)在(0，a)内为减函数。当x＞a时，F'(x)＞，所以F（x）在(a，+∞)上为增函数。于是当x=a时，F（x）有极小值F（a）。因为F（a）=0，b＞a，所以F（b）＞，
即＜g(a)+g(b)-2g()。
设G（x）=F(x)-(x-a)ln2，则G'(x)=lnx-ln
=lnx-ln(a+x)。
当x＞时，G'(x)＜，所以G（x）在(0，+∞)上为减函数。因为G（a）=0，所以G（b）＜，即g(a)+g(b)-2g()＜(b-a)ln2。综上所述，＜g(a)+g(b)-2g＜(b-a)ln2