本篇将举三个重要的理论或领域，以展示之前信号理论的应用和意义。其中滤波理论和通信系统是非常大的应用领域，这里仅对基础的概念和方法做个介绍，以作入门之用。
1. 滤波系统
1.1 滤波器
在系统函数的性质中，我们看到信号在时域上的微分、积分、卷积等复杂运算，在频域都变成了代数运算。这说明分析和使用信号的频域，有其天然的优势，也会带来更广泛的应用。当然，频域的操作最终都体现在时域上，注意讨论其相互关系和平衡，有时也是必需的。滤波系统主要就是以信号的频域为操作对象，具体来说就是调整不同基波的波幅、相位，以使输出信号满足具体需求，这样的系统也叫滤波器（Filter）。
在讨论具体滤波器之前，有必要先说清楚系统对信号的频域究竟产生了什么影响。信号的频谱系数\(X(j\omega)\)是一个复值函数，模\(|X(j\omega)|\)表示基波峰谷的高度，它称为频谱的幅度；角度\(\sphericalangle X(j\omega)\)表示基波初始位置，它称为频谱的相位。LIT系统就是将信号的频谱乘上了系统函数\(H(j\omega)\)，把影响按幅度和相位分开讲，\(|H(j\omega)|\)称为系统的增益（gain），\(\sphericalangle H(j\omega)\)叫系统的相移（phase shift）。
将频谱的幅度、相位分开展示的坐标图（横坐标为\(\omega\)）叫模-相图，根据对称性，它们仅需显示正频率部分。为了展示更多的基波频率，以及在系统中经常出现\(\log_{10}\omega\)，横坐标一般用对数值。另外，从图中表示相移对相位的影响是简单的，只需在相位上增加相移即可。为了让增益的影响也同样直观，一般把幅度坐标用对数表示，改乘法为加法。其实在现实中，人们对幅度的感知也是对数形式的，比如音量和功率\(\log_{10}|X|^2\)成正比。一般把\(\log_{10}|X|^2\)的单位叫做Bel，更常用的单位分贝（dB）是其十分之一，也即模坐标的值是\(20\log_{10}|X(j\omega)|\)。使用以上所有方法的图示称为Bode图。
滤波器一般通过修改幅度的方法，选择性保留部分频率的基波、而削弱其它频率的基波，增益恒为\(1\)的叫全通系统。根据保留频率的不同，有很多直观的术语，这里就不一一阐述了，比如低通/高通/带通滤波、以及滤波的截止频率/通带/阻带。另外，系统的相移会造成基波的时移，这在关心时移的场景里（比如图片），同样是不可忽略的影响。所有不期望发生的增益和相移，都被称为信号的失真。根据信号时移的性质，相同的时移\(t_0\)对应相移\(\omega t_0\)，相移要和频率成正比信号才不失真，\(t_0\)称为系统的群时延。在一般系统的局部，也有近似的群时延\(\tau(\omega)\)（式（1））。
\[\sphericalangle H(j\omega)=\omega\cdot\tau(\omega)+\phi(\omega),\;\;\tau(\omega)=\dfrac{\text{d}[\sphericalangle H(j\omega)]}{\text{d}\,\omega}\tag{1}\]
1.2 滤波函数
理想的滤波器的系统函数只有\(0\)和\(1\)两种值，这里就举例不同场景的低通滤波，高通/带通滤波可由其转变而来。为方便叙述，先定义方波函数\(U_T(x)\)，它仅在\(|x|\leqslant T\)时取\(1\)。如果设低通滤波器\(X(j\omega)\)为\(U_W(\omega)\)，不难得到其单位冲激响应\(x(t)\)（式（2）左）。你可以记忆\(\text{sinc}\,\pi t\overset{F}{\leftrightarrow}U_{\pi}(\omega)\)，另外在\(t=0\)处就取周边极限值。利用对偶性，就可以得到方波冲激响应的系统函数（式（2）右）。
\[\dfrac{\sin Wt}{\pi t}\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;U_W(\omega);\;\;U_T(t)\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;\dfrac{2\sin T\omega}{\omega}\tag{2}\]
如果记\(\text{sinc}(t)=\sin t/t\)，则式（2）左就是\(W\text{sinc}(Wt)/\pi\)。对于比较大的\(W\)，它就是\(\text{sinc}(t)\)的横向压缩以及纵向拉升，且能量都集中在原点附近。当\(W\to\infty\)时，可知左式在\(t=0\)处趋于无穷，利用三角积分的值还能算得原点附近的积分趋于\(1\)。这非常类似\(\delta(t)\)，其实\(W\to\infty\)时\(U_W(\omega)\)是全通滤波，故它的单位冲激响应就是\(\delta(t)\)（即恒等变换）。同样道理，式（2）右中\(T\to\infty\)时的系统函数近似\(2\pi\delta(\omega)\)，这与周期函数的FT相一致。
为讨论离散信号，对于周期\(T\)，先定义周期方波\(U_{\theta}(x)\)，它仅在\(|x-kT|\leqslant \theta T/2\)时为\(1\)。对离散信号的FT，设低通滤波器\(X(j\omega)\)为\(U_{\theta}(\omega)\)，不难得到其单位脉冲响应\(x(t)\)（式（3）左），其中\(a_0=\theta\)。滤波\(U_{\theta}(\omega)/(2\theta\pi)\)每个周期的积分恒为\(1\)，当\(\theta\to 0\)时即为单位冲激串，左边恒有极限\(1/(2\pi)\)，与定值的FT一致。然后利用对偶性，也能得到周期方波的FS（式（3）右），以及单位冲激串的FS恒为\(1/T\)。最后还有离散方波的FT，以及周期离散方波的FS（式（4）），这里暂不考虑FS上的滤波。
\[\dfrac{\sin(n\theta\pi)}{n\pi}\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;U_{\theta}(\omega);\;\;U_{\theta}(t)\;\overset{FS}{\leftrightarrow}\;\dfrac{\sin(k\theta\pi)}{k\pi}\tag{3}\]
\[U_{n_0}(n)\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;\dfrac{\sin[\omega(n_0+1/2)]}{\sin(\omega/2)};\;\;U_{\theta}[n]\;\overset{FS}{\leftrightarrow}\;\dfrac{\sin(k\theta\pi)}{N\sin(k\pi/N)}\tag{4}\]
一个滤波器不光要考虑频域的效果，还要顾及时域带来的特性，一般用单位阶跃响应考察滤波器的时域特征。它逐步收敛于单位冲激响应的极限值，收敛过程中，有几个参数比较影响系统的好坏。首先上升到稳态的时间，表示系统响应的快慢（或当前信号对后续输出的影响大小），一般越快越好。然后还有进入稳态前的超量（超出稳定值）、以及进入稳态时的震荡，它们都影响了系统的稳定速度，可能降低系统实时性。
式（2）左的理想滤波不光有超量和震荡，现实中还很难实现（不是有理系统），另外还需要整个输入信号才行（非因果系统），实际上很少使用。非理想滤波在通带和阻带之间没有明显的界限，而是有一定长度的过渡带，并且通带/阻带上都可能有一些起伏，以此可以换来时域更好的特性。一般越小的过渡带、越小的起伏，会带来更大的超量和震荡、以及更长的上升时间，使用中需要注意平衡。更多具体的滤波要到后续课程中讨论了。
2. 采样定理
2.1 采样与插值
离散时间信号更方便处理，经常要把连续信号\(x(t)\)采样成离散序列\(x[nT]\)，为此需要从理论上分析这两种信号的关系。首先自然地想把采样表示成\(x(t)s(t)\)，其中\(s(t)\)仅在\(t=nT\)处有非零值\(1\)，但由于\(s(t)\)没有正常的分析性质（微积分），频域分析无法进行。为此可以把\(s(t)\)换成单位冲激串函数\(p(t)\)（式（5）左），上一节已经知道它的FS频谱是\(1/T\)，故它的FT频谱系数是式（5）右（\(\omega_s=2\pi/T\)）。
\[p(t)=\sum_{k\in\Bbb{Z}}\delta(t-kT)\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;P(j\omega)=\omega_s\sum_{k\in\Bbb{Z}}\delta(\omega-k\omega_s)\tag{5}\]
记采样信号为\(x_p(t)=x(t)p(t)\)，根据乘法性质知其频谱系数为\(X_p(j\omega)=\dfrac{1}{2\pi}X(j\omega)*P(j\omega)\)。式（5）带入便知，\(X_p(j\omega)\)是多个\(X(j\omega)*\delta(\omega-k\omega_s)/T\)的累加，而后者是\(X(j\omega)/T\)平移\(k\omega_s\)得到，故\(X_p(\omega)\)就是\(X(j\omega)/T\)以\(\omega_s\)为周期的叠加。如果\(x(t)\)的带宽满足\(\omega_c<\omega_s\)，它们在\(X_p(j\omega)\)中的叠加不会出现混叠，可以用低通滤波完整截取出来。也就是说从\(x_p(t)\)中可以完全恢复出\(x(t)\)，这个结论称为采样定理。
采样定理是个理想化的模型，首先冲激串函数根本无法生成，其次理想滤波器也很难实现，但它从理论上说明了，足够密度的采样是可以保存特定信号的所有信息的。需要说明的是，带限信号往往表现出一定平滑性，但反过来平滑信号却不一定是、甚至很少是带限的（平滑不是来自低频正弦函数）。但这并不妨碍采样定理的实用性，一般信号的高频部分都足够小，高密度的采样可以获得信号的大部分信息，足以近似恢复出原信号。当\(\omega_c>\omega_s\)时，信号恢复会出现不可预知的结果，比如对信号\(\cos\omega_0 t\)低速度采样时，恢复信号的频率总会下降到\(|\omega_s-k\omega_0|\)（自行证明），这个可以解释视频中风扇倒转的现象。
现在就来讨论从采样函数\(x_p(t)\)恢复出\(x(t)\)的一般性方法，这里\(x_p(t)\)是个数学工具，它代表了采样信息\(x[nT]\)。记恢复系统的单位冲激响应为\(h(t)\)，则恢复信号\(x_r(t)\)为式（6）。不难看出，满足\(h(0)=1,h(nT)=0,(n\ne 0)\)的系统都能准确恢复出采样值\(x[nT]\)，这时的\(x_r(t)\)就好像\(x[nT]\)的内插函数。采样定理中的低通方波就满足插值条件，其它恢复信号的插值法也要满足插值条件，而且在频谱上都是低通方波的一种近似，即便只是粗略的近似。
\[x_r(t)=x_p(t)*h(t)=\sum_{n\in\Bbb{Z}}x(nT)h(t-nT)\tag{6}\]
把式（6）看成\(x(nT)\)影响的叠加，选择适当的\(h(t)\)便可以构造不同的恢复系统。比如记\(h_0(t)\)仅在\([0,T)\)上有非零值\(1\)，这时\(x_r(t)\)在\([nT,(n+1)T)\)上的值都是\(x(nT)\)，这样的阶梯函数叫采样的零阶保持。为了让恢复信号连续，最简单的就是线性插值（相邻两点直线相连，也叫一阶保持），不难得知\(h(t)\)是一个\((-T,T)\)上面的三角形函数。类似地可以有更平滑的高阶保持，那里\(h(t)\)要更平滑，每个点的影响范围也更大。
2.2 数模转换
连续信号（也叫模拟信号（analog））离散化的优点并不仅限于存储和传输，数字（digital）信号的在处理上有更多有效便捷的方法。所以经常会把模拟信号先做个模-数转换（A/D），通过数字信号处理（DSP）后，再进行数-模转换（D/A）输出模拟信号。在这个过程中，要想使用统一的FT理论就非常困难了，而不得不直接寻找连续FT和离散FT之间的关系，也即冲激采样\(x_p(t)\)能否由脉冲采样\(x_d[n]=x[nT]\)替代。
把\(x_p(t)\)看成冲激串的叠加，并根据\(\delta(t-nT)\)的（连续FT）频谱，可得到\(x_p(t)\)的频谱为式（7）左。然后直接用离散FT的公式，可得到\(x_d[n]\)的频谱为式（7）右，这里的\(X_d(e^{j\omega})\)已经展开为周期函数。这两个频谱系数虽然来自不同的变换，但却有式（8）左的联系，\(X_d(e^{j\omega})\)是\(X_p(j\omega)\)在横轴拉升\(T\)倍，使周期成为\(2\pi\)。这个结论不仅说明了\(x_p(t)\)和\(x_d[n]\)在信息量上的等价性，还是连续频谱和离散频谱之间的桥梁。
\[X_p(j\omega)=\sum_{n\in\Bbb{Z}}x(nT)e^{-j\omega nT};\;\;X_d(j\omega)=\sum_{n\in\Bbb{Z}}x(nT)e^{-j\omega n}\tag{7}\]
\[X_p(j\omega/T)=X_d(e^{j\omega});\;\;H(j\omega)=H_d(e^{j\omega T}),\,(|\omega|<\omega_p/2)\tag{8}\]
假设\(x_d[n]\)经过系统\(H_d(e^{j\omega})\)后变成\(y_d[n]\)，再把它冲激采样化为\(y_p(t)\)，不难求得最后的频谱是\(Y_p(j\omega)=X_p(j\omega)H_d(e^{j\omega T})\)，这就好比\(x_p(t)\)通过了连续系统\(H_d(e^{j\omega T})\)。如果回到连续函数，相当于\(x(t)\)经过连续系统\(H(j\omega)\)（式（8）右）后变成了\(y(t)\)，这就说明了数字信号处理对连续系统的影响。当然还要强调一下，要想\(H(j\omega)\)等价于原离散系统，还要求\(x(t)\)是带限的（否则只是近似系统）。更进一步讲，带限连续信号脉冲采样并通过离散LIT系统后，就相当于通过了一个连续LIT系统。
这个结论其实更适合反过来用，由于连续信号有更好的分析性质，那些在离散信号上“无意义”的概念（比如微分），可以先在连续信号上设计系统，再通过式（8）得到对应的离散系统。比如连续信号的微分器是\(H(j\omega)=j\omega\)，那么其采样信号的微分器\(H_d(e^{j\omega})\)就是\(j\omega/T\)在\(|\omega|<\pi\)上的周期拓展。再比如时移系统的微分器是\(e^{-j\omega t_0}\)，其采样信号的微分器就是\(e^{-j\omega t_0/T}\)在\(|\omega|<\pi\)上的周期拓展。它们的单位脉冲响应可以用逆变换计算，也可以通过特殊信号的响应直接求得。函数\(\text{sinc}(\pi t)\)在整数点上的采样就是单位脉冲（注意此时\(T=1\)），且带宽\(2\pi=\omega_s\)刚好没有混叠，对它做变换（比如微分、时移）再在整数点采样，即可得到离散系统的单位脉冲响应。
2.3 抽取和内插
对于高频采样的信号，实际使用时往往不需要这么高的精度，或者数据量相对信息量是有冗余的，这时就需要考虑离散信号的抽取（减采样）。记脉冲串\(p[n]\)仅在\(n=kN\)时有非零值\(1\)，易知它的频谱系数为式（9），其中\(\omega_s=2\pi/N\)。同样用周期卷积分析\(x_p[n]=x[n]p[n]\)的频谱，它是\(X(e^{j\omega})/N\)以\(\omega_s\)为周期的叠加，\(2\pi\)内共有\(N\)个。当\(x[n]\)的带宽满足\(\omega_c<\omega_s\)时，从\(x_p[n]\)可以完全恢复出\(x[n]\)。以及把抽取值重组为信号\(x_b[n]=x_p[nN]\)，根据缩放性质可有关系式\(X_b(e^{j\omega})=X_p(e^{j\omega/N})\)，两者在信息量上是等价的。
\[p[n]=\sum_{k\in\Bbb{Z}}\delta[n-kN]\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;P(e^{j\omega})=\omega_s\sum_{k\in\Bbb{Z}}\delta(\omega-k\omega_s)\tag{9}\]
对比\(x[n]\)和\(x_b[n]\)的频谱，后者相当于前者在每个\(2\pi\)内拉伸\(N\)倍（同时幅值降低到\(1/N\)）。以上过程的逆过程，即先拉升补零再方波截取，可以看成是把\(x_b[n]\)内插（增采样）成\(x[n]\)，同时频谱收缩\(N\)倍。我们希望减采样的频谱能正好填满周期\(2\pi\)，以充分利用频谱而降低采样数据量，这个过程往往需要先增采样，以使\(2\pi/\omega_c\)尽量接近整数。另外，缩放的过程也许可以更直观地解释式（5）和（9），\(x_b[n]\)完整拥有\(x[n]\)的频谱，\(x_p[n]\)本质上是个延展函数，延展过程中其它周期的频谱都被压缩至\(2\pi\)内。式（9）则可以解释成，无穷处的频谱被压缩至实轴内了。
3. 通信系统
3.1 基本概念
现代通讯是以电磁波为信息载体的，在空气中波长越长（频率越低），无线电波的传播距离越远（速度同光速）；而高频部分带宽更宽，可以容纳更多的信息。在工业上，长波（0~300kHz）可传播国际广播，中波（300k~3MHz）多用于AM，短波（3m~300MHz）多用于高保真传输（比如FM广播、手机通讯、Wifi等）。各种不同的信号想要通过电磁波传输，就必须把信息“嵌入”到一个高频信号中，前者称为调制信号、后者称为载波信号，嵌入和解析信号的方法分别叫调制和解调。
载波信号多为正弦波，根据载波被修改的内容，调制方法和大致分为幅度调制（AM）和频率调制（FM）。频率调制直接修改载波的频率\(\omega_c\)（式（10）），由于FM使用的高频，局部的频率\(\omega_c+kx(t)\)近乎不变，可由此解调出\(x(t)\)。频率几乎不会衰减，因此FM可以高保真传输信息，缺点则是需要占用较大的带宽。幸好高频的带宽足够宽，甚至可以划分为多个频段，以供多路FM信号传输，这个方法就叫频分多路复用（FDM）。
\[A\cos\theta(t),\;\;\dfrac{\text{d}\theta(t)}{\text{d}t}=\omega_c+kx(t)\tag{10}\]
幅度调制直接把调制波乘上载波，周期载波的频谱是可数个冲激串，根据乘法性质可知，调制后的频谱是原频谱的平移叠加，可使用带通滤波解调出来。一类常用的AM载波是周期方波，方波无需持续很久、而只要频率够高，即可传输近似的信号。效果相当于是高频、有短暂持续的采样，也被叫做脉冲幅度调制（PAM）。另外可想而知，一个采样周期内可以有多路信号并存，这个方法就叫时分多路复用（TDM）。
值得注意的是，PAM所使用的方波载波，其频谱是无限的，在传输中必定会失真。而失真的信号在TDM中会造成码间干扰，导致所有信号都变形。为此PAM的载波要选择特殊的周期脉冲，它是带限的、并在其它通道时间上还是过零的。为讨论方便，把PAM的时隙设为\(1\)，脉冲\(p(t)\)要在\(k\ne 0\)上过零，即频谱\(P(j\omega)\)有界且\(P(j\omega)e^{-jk\omega}\)的积分为零。假定脉冲对称、并利用三角函数的性质，可以构造如式（11）的频谱函数，其中最有代表性的是方波\(U_{\pi}(\omega)\)，它的脉冲函数是\(\text{sinc}\,\pi t\)。当然如果把脉冲数据都数字化（二进制），也就没有码间干扰的问题了，它被称为脉冲编码调制（PCM）。
\[P(j\omega)=P(-j\omega);\;\;P(j\omega)+P(j(2\pi-\omega))=1,\;(0\leqslant\omega\leqslant\pi)\tag{11}\]
3.2 正弦幅度调制
幅度调制更常用的载波还是正弦函数，它更易于产生，也有更好的分析性质和频谱系数。AM的主要目的是要把信号嵌入到某个传输频段，比较自然地可以想到频域的平移性质，即如式（12）用复载波\(e^{j\omega_c t}\)将\(X(j\omega)\)整体右移\(\omega_c\)。在接收端，只需用复载波\(e^{-j\omega_c t}\)即可解调出\(x(t)\)，复载波可以用两路信号\(x(t)\cos\omega_c t\)和\(x(t)\sin\omega_c t\)来表示。如果只想使用单通道也是可以的，式（13）表明载波\(\cos\omega_c t\)将\(X(j\omega)\)产生了两份叠加。接收端如果还用\(\cos\omega_c t\)解调，便可以得到右图中的三份频谱，使用低通滤波器即可保留单个\(x(t)\)的频谱。
\[x(t)e^{j\omega_c t}\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;X(j(\omega-\omega_c))\tag{12}\]
\[x(t)\cos\omega_c t\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;\dfrac{1}{2}[X(j(\omega-\omega_c))+X(j(\omega+\omega_c))]\tag{13}\]
在实现中还有一个棘手的问题需要解决，即调制载波和解调载波（不论是单双通道）需要是同相的，这称为同步解调，需要较高的成本。而现实中两者往往有相位差\(\phi(t)\)，并且随时间不稳定地变化。如果使用的是复载波，解调出来的信号其实是\(x(t)e^{j\phi}\)，在\(x(t)\)恒为正的情况下，取其范数即可得到\(x(t)\)。为了让调制波恒为正，有时需要将波幅同步提升，这将带来额外的功率消耗。如果使用的是正弦载波，解调的信号将是\(x(t)\cos\phi t\)，好像无计可施了。其实如果\(x(t)\)恒为正、且\(\omega_c\)足够大，\(x(t)\cos\omega_c t\)的所有波峰就好像是对\(x(t)\)的采样（使用包络检测器），从它们也可以恢复出\(x(t)\)的近似值。
正弦载波调制占用了\(x(t)\)两倍量的带宽，这对有限的带宽是一种浪费，它称为双边带调制（DSB）。\(x(t)\)的频谱按\(\omega\)的正负分为两个边带，调制后靠近原点的两个分支叫下边带（否则叫上边带），仅保留上/下边带的调制称为单边带调制（SSB）。SSB需要用理想带通滤波实现，我们知道这个难以实现。其实利用两个频谱分支的平移对称性、以及三角函数的对称性，可以设计出式（14）的调制系统（90度相移网络），请自行证明它仅保留了上边带（以及设计保留下边带的系统）。
\[x(t)\cos\omega_c t+x_h(t)\sin\omega_c t,\;\;x_h(t)\;\overset{F}{\leftrightarrow}\;jX(j\omega)\cdot\text{sign}\omega\tag{14}\]
离散信号的幅度调制非常类似，可以用复载波\(e^{j\omega_c n}\)将频谱移向高频，然后用\(e^{-j\omega_c n}\)解调。如果用正弦函数调制，也会产生正负两个频谱分支，这时需要防止不同周期上频谱的混叠。记信号带宽为\(\omega_m\)，首先要让两个分支分开，即要\(\omega_c>\omega_m/2\)；然后周期间也不能混叠，即要\(\omega_c+\omega_m/2<\pi\)。综合便要求式（15）成立，这就要求\(\omega_m\)越小越好。其实在之前的采样理论中我们知道，只要对信号增采样，即可压缩信号的频谱。
\[\omega_m<2\omega_c<2\pi-\omega_m\tag{15}\]