本报告由火币区块链研究院出品，报告发布时间2018年7月15日，作者：袁煜明、胡智威。
摘要
EOS RAM在经过了价格大幅度波动后，其背后的Bancor定价机制也越来越为人所熟知。继《【火线视点8】没有免费的午餐—从EOS RAM价格看公链通证经济体系设计》后，火币区块链研究院继续对这一算法研究，分析其后背的数学和经济学原理，并通过公式，我们计算对比了不同参数下RAM价格，主要得到以下研究结果:
Bancor公式中隐藏价格函数与经济学上的价格弹性曲线的概念相通。
由于是根据供需量来得出价格，Bancor经过微积分计算得出购买RAM时所需EOS的等效价格，防止产生购买价格误差。
在不同的曲线参数下，价格会有不同。我们以北京时间7月10日18点40分的情况为例，使用MATLAB R2015a进行测算：付出10 EOS以上，参数取值改为0.5会比0.0005的商品“性价比”更高。
报告正文
1.引言
EOS RAM在经过了价格大幅度波动后，其背后的Bancor定价机制也越来越为人所熟知。继《【火线视点8】没有免费的午餐——从EOS RAM价格看公链通证经济体系设计》后，火币区块链研究院继续对这一算法研究，分析其后背的数学和经济学原理。通过公式，我们计算对比了不同参数下RAM价格，可看到参数的确会产生一定程度上的影响。
另外需要注意的是：测算得到的数据结果不是也不应被视为是对EOS RAM未来价格走势等情况的证明或确认。特此声明。
2.主要结论
经过研究与测试分析，我们得到以下主要结论及技术建议：
Bancor公式中隐藏价格函数与经济学上的价格弹性曲线的概念相通。
由于是根据供需量来得出价格，Bancor经过微积分计算得出购买RAM时所需EOS的等效价格，防止产生购买价格误差。
在不同的曲线参数下，价格会有不同。我们以北京时间7月10日18点40分的情况为例，使用MATLAB R2015a进行测算：付出10 EOS以上，参数取值改为0.5会比0.0005的商品“性价比”更高。
3.什么是Bancor
Bancor算法的本质我们在此前的《【火线视点8】没有免费的午餐——从EOS RAM价格看公链通证经济体系设计》报告中有过介绍：它是在1940年-1942年间由凯恩斯、舒马赫提出的一个超主权货币的概念，可作为一种账户单位用于国际贸易中，并由英国在二战后正式提出。然而，由于美国实力在二战后一枝独秀，Bancor 方案并没有在布雷顿森林会议上被采纳使用。但应用这一思想的 Bancor 算法则继续延续了其生命力。Bancor 算法由 Bancor Network 项目提出应用，旨在采用公式来设定好数字资产间的兑换价格。其联合创始人 Eyal Hertzog 近期也被BM邀请一起来探讨 EOS 中 Bancor 算法的应用。
虽然Bancor Network近期也经历被盗风波，但这不妨碍我们继续研究这一算法。既然是原本要用于国际贸易的模型，那必然涉及到不同实体间如何兑换。Bancor 白皮书中对定价模型有着十分严谨和详细的说明。它定义了两类token：一种是通常会流通使用的 connector token（即储备金，例如：BTC、ETH、EOS等），而另一种是作为“超平台”中间媒介的 Smart Token。为了使得兑换价格满足刚才提到的供需关系，设计的公式中的价格为 connector 的可流通余量（balance）除以 按照一定系数的Smart Token 供应量：
其中，CW 的英文是 Connector Weight，表示设计出来的 Smart Token 的总价值与实际在使用中的 connector 余量间的关系，设计好后为一个固定参数
总体上来说，就是 Smart Token 的供应量越少或者 connector 的余量越多，那么使用 connector 来兑换 Smart Token 的价格就越高。
虽然很不严谨，但这也就能理解了为什么 EOS 的 RAM 越少，价格越高了。至于不严谨的原因，我们将在下文继续解释。
4.公式设计思路
回到 RAM 价格上，那么无疑在 EOS 主网刚上线的时候，RAM 供应量最多。可以看到最低价格是 0.017 EOS/KB 。按照这个价格，也就是买 1MB 需要 0.017 * 1024 = 17.408 EOS。那么，全部 64GB RAM 在这个时候值 1140850.688 EOS，是不是这个时候花费这些 EOS 就可以把 64 GB一次性都买下？答案显然是否定的。
实际上，有多种方式可以限制这种做法。最简单的一种就是限制每次买卖的数量：只要设置每次只能购买 32GB，那么第二次买 RAM 的价格就会提高很多，买的总成本就会变的很高。再循环细分下去为 16GB、8GB …… 总的价格就会越来越合理。这在数学上是有相应的工具可以使用的。
是的，就是微积分。在 Bancor Network 白皮书中引用的另外一个资料中，可以看到这个推导过程。
定义R为当前connector的余量、S为当前Smart Token的供应量、F为系数（即上文中的CW）、P为当前Smart Token的价格，那么有：
Smart Token的市场总量 = SP
Connector余量 R = FSP， 即P=R/SF
当要购买dS 的Smart Token时，用户需要付出P dS 的成本，也等于剩余connector的变化量，即dR = P dS
又因为R = FSP，同时微分可得到：dR = d(FSP) = F d(SP) = F(S dP + P dS)，所以综合上述两个等式可得：
然后我们可以看到，这个微分方程的结果和经济学上的一个概念是一样的。
是的，就是经济学上的价格弹性曲线：
1）当 CW 或者 F 为 1 时，提供100%的流动性，因此价格毫无弹性，一直维持在某一水平线上
2）当 CW 大于 0 小于 1 时，即上述正常供需情况下的价格曲线
有了这个价格函数后，再对其进行积分，即可得到不同量的 connector 可换购的 Smart Token 数量。
定义用户要购买Smart Token的数量为T，那么可得到需要付出的connector的数量E为：
如果用付出的connector 除以兑换到的Smart Token 数量，即可得到等效价格（Effective Price），即只要付出的connector总量一样，不管分多少次购买，所获得的Smart Token总量是一样的，因此也就不需要限制单次购买量了。但相应的，如果单次付出不同数量的connector，折算得到的单价也会不一样，所以不会存在上文假设的“套利”情况。
5.EOS RAM的公式更复杂
EOS 应用 Bancor 算法过程中，并不是将 EOS 和 RAM 直接用价格曲线进行兑换，而是引入了中间 token——RAMCORE，对应于 Bancor 中的 Smart Token。
EOS 和 RAM 兑换逻辑的代码主要在：https://github.com/EOSIO/eos/blob/v1.0.8/contracts/eosio.system/exchange_state.cpp
EOS 到 RAM 的兑换过程就涉及了两个公式，所以上文中用一个公式来举例就很不严谨，只是为了定性的说明价格特性。
从代码中可看到EOS与RAMCORE的兑换公式为：
其中，E为EOS到RAMCORE所能兑换的数量，R是RAMCORE的初始发行总量，C1为当前EOS余量，T1为用于购买的EOS数量，F为常量参数
将上述公式的进行反向整理设计，即可得到RAMCORE与RAM的兑换公式为：
其中，T2是准备购入的RAM数量；C2为可分配的RAM余量。将中间变量E代入即可得出用于购买的EOS数量（T1）与可兑换到的RAM数量（T2）之间的关系。
为方便直观的理解，可以对公式进行简化，得到：
可以看到随着可买RAM余量（C2）的降低或者EOS数量（C1）的增多，RAM的价格会加速增长（即同样付出T1的EOS下，可换取到的RAM数量T2变少了）
6.不同参数下的价格偏差计算
根据简化公式，F 应该对价格影响很小。那么 BM 之前说的把 0.5 多除了1000，变成0.0005，对价格是否有很大影响？我们可以直接通过公式计算来验证。
按照公式，要计算先确定好公式中的参数。参数的获取可通过网络渠道来获得（参考https://github.com/eoshackathon/eos_dapp_development_cn/blob/master/docs/ram_price.md）：
由于C1和C2的参数会时刻根据行情进行变化，我们选取上述时间作为示例计算参数。下一步，我们使用MATLAB（R2015a 8.5.0.197613）进行公式的计算。
当要付出不同量 EOS 时，分别计算出F=0.0005和F=0.5的 RAM 价格结果，可购买到的RAM之差（F=0.0005-F=0.5）以及两个价格之间的差值：
可以看到，当F取值变化的时候，不同购买量下的结果的确不同：当一次付出10000 EOS时，F=0.0005能购买到的RAM比F=0.5少了 20 KB，相应的RAM单价高了 4.0412e-04 EOS/KB；而当一次付出100000 EOS时，会少近 2MB，同时单价高 0.0040 EOS/KB。
根据结果，在购买量大的时候，确实会有区别，而且改为F=0.5后RAM的“性价比”反而会更高，这很可能也是BM及EOS社区在调整参数时所考虑的问题。
7.参考资料
1）Bancor Protocol Whitepaper
2）Formulas for Bancor system
3）【火线视点8】没有免费的午餐—从EOS RAM价格看公链通证经济体系设计
4） https://eospark.com/ram.html
5）https://github.com/eoshackathon/eos_dapp_development_cn/blob/master/docs/ram_price.md
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