输入
稀疏的物品用户评分矩阵。
输出
输出1：基于矩阵分解得到的两个子矩阵。
输出2：根据输出2得到的已被填充的物品用户评分矩阵
前言
当用户、物品较多的时候，基于用户和物品的协同过滤算法存在稀疏性的问题，将矩阵分解应用于协同过滤算法可以提取物品、用户的隐式特征，发现一些不是显而易见的特征，在一定程度上解决了稀疏问题的同时，也将大的行为矩阵分解为小的用户隐式特征矩阵和小的物品隐式特征矩阵，减小了计算量，提高了准确率和计算速度。
Func-SVD矩阵分解原理
有了近邻模型的用户物品关系矩阵后，为什么还需要用到矩阵分解呢？这是因为近邻模型存在以下的问题：
- 物品之间存在相关性，但是信息量并不随着向量维度增加而线性增加
- 近邻模型的用户物品关系矩阵是稀疏矩阵，计算结果不稳定，增减一个向量维度，可能近邻模型结果差异较大。
矩阵分解可以解决上面的问题。矩阵分解就是把原来的用户物品关系大矩阵近似分解为两个小矩阵的乘积，假设有一个用户评分矩阵
，其中m=10 0000， n = 1 000，即一共有10万个用户，1万个物品，那么用户物品矩阵中的元素个数为10亿。我们选择一个较小的数k，k比m，n小很多，假如取值为10，通过一系列的计算得到两个矩阵
和
，这两个子矩阵可以通过如下公式近似复原大矩阵：
通过这一系列操作可以使用涉及计算的元素数从10亿下降到110万，通过计算量上可以看出矩阵分解的优势。这里再从实际物理意义上解释以下，矩阵分别把用户和物品都映射到一个k维空间上。对于每一个用户而言，会得到一个向量
，维度为k，这个向量称为隐因子向量，向量中的元素有正有负，代表这个用户在若干因素上的偏好。对于一个物品而言，会得到一个向量
，维度为k，这个向量称为隐因子向量，向量中的元素有正有负，代表这个物品背后隐藏的一些用户关注的因素。
矩阵分解之后，对于一个用户u的隐因子向量为
，物品i的隐因子向量为
，那么将物品i推荐给用户u的推荐分数，可以直接通过下面的点积计算即可：
这个公式很简单，关键是如何得到每一个用户、每一个物品的k维向量？我们可以按照机器学习的思路，首先定义损失函数，然后使用优化算法进行优化，减小预测结果与实际用户评分之间的误差。
任意用户u与任意物品i的Func-svd算法损失函数定义如下：
式中
为用户u对物品i的真实评分。加号前的部分控制着模型的偏差，防止“欠拟合”。加号后的部分采用
正则化项控制着模型的方差，让模型执行推荐任务时稳定发挥，防止“过拟合”的发生。
我们采用梯度下降优化算法，慢慢朝着梯度的反方向不断迭代得到使损失函数最小的参数值，得到的参数值就是我们要求的每一个用户、物品的k维隐因子向量。
下面具体讨论下如何应用梯度下降算法，首先我们要搞清楚：
- 每一个样本是什么
- 未知参数是什么
我们要拟合的对象是用户物品关系矩阵，可以把矩阵中的每一个元素看成一个样本，每个样本就是用户对物品的评分，我们的预测过程就是让用户的隐因子向量与物品的隐因子向量做点积得到的预测分数逼近样本，隐因子向量之间的点积可以表示为：
其中
，
分别代表
，
中的每一个元素中的元素值，是分解后的子矩阵
，
中的元素值，也就是我们一直在寻找的未知参数。
我们分别对
，
求偏导数：
，
为实际值与预测值之间的误差；
，
为实际值与预测值之间的误差。
按照随机梯度下降算法，我们分别更新
，
：
通过前面一些列操作后，可以得到分解后的两个子矩阵P，Q，两个子矩阵相乘就可得物品用户评分矩阵，有个这个物品用户评分矩阵就可以给用户推荐评分较高的物品了。
Func-svd矩阵分解算法流程
流程如下：
- 随机生成一个稀疏的物品用户评分矩阵
- 初始化分解后的子矩阵
- 计算预测分数与实际分数之差
- 按照上述参数更新公式同步更新子矩阵
中的元素值 - 迭代重复步骤3，4，直至迭代次数执行完毕。
python代码实现
1 import numpy as np 2 import scipy as spy 3 import scipy.sparse 4 import heapq 5 6 # 构造一个稀疏的50 * 100物品用户评分矩阵 7 # 随机生成120个坐标，行坐标取值范围为[0,50),列坐标取值范围为[0,100),生成的非零元素占总数的24%,非零元素取值范围为1,2,3,4,5 8 # 行对应物品，列对应用户 9 row_num = 50 10 col_num = 100 11 nonzero_percent = 0.24 12 nonzero_num = int(row_num * col_num * nonzero_percent) 13 14 row = np.random.randint(0,row_num,size=nonzero_num) 15 col = np.random.randint(0,col_num,size=nonzero_num) 16 data = np.random.randint(1,6,size=nonzero_num) 17 sparse_matrix = spy.sparse.coo_matrix((data, (row,col)), shape=(row_num,col_num)) 18 sparse_matrix = sparse_matrix.toarray() 19 20 # 隐因子特征个数 21 k = 4 22 # 子矩阵 23 item_feature_matrix = np.random.rand(row_num, k) 24 user_feature_matrix = np.random.rand(col_num, k) 25 # 迭代次数 26 step = 100 27 # 学习率 28 alpha = 0.00005 29 # 正则化系数 30 lamda = 0.0001 31 # 迭代学习 32 for s in range(0, step): 33 err_square_sum = 0.0 34 for r in range(0, row_num): 35 for c in range(0, col_num): 36 # 计算预测的分数,(r,c) 37 predict = np.dot(item_feature_matrix[r], user_feature_matrix[c]) 38 # 计算实际值与预测值之差 39 err = float(sparse_matrix[r][c]) - predict 40 err_square_sum = err_square_sum + err*err 41 # 更新物品的隐因子向量, 可以把k个参数的更新合并为向量形式处理 42 item_feature_matrix_tmp = item_feature_matrix[r] + 2 * alpha * (user_feature_matrix[c] * err - lamda * item_feature_matrix[r]) 43 # 更新用户的隐因子向量, 可以把k个参数的更新合并为向量形式处理 44 user_feature_matrix_tmp = user_feature_matrix[c] +2*alpha*(item_feature_matrix[r] * err - lamda * user_feature_matrix[c]) 45 item_feature_matrix[r] = item_feature_matrix_tmp 46 user_feature_matrix[c] = user_feature_matrix_tmp 47 #print('step[{}] err_square_sum:{}, err_square_sum_sqrt:{}'.format(s, err_square_sum, np.sqrt(err_square_sum))) 48 print('item_feature_matrix:\n{}'.format(item_feature_matrix)) 49 print('user_feature_matrix:\n{}'.format(user_feature_matrix)) 50 51 # 两个分解后的子矩阵相乘，得到拟合的物品用户评分矩阵 52 result_matrix = np.dot(item_feature_matrix, user_feature_matrix.T) 53 54 # 得到拟合的物品用户评分矩阵后就可以给用户推荐评分最高的k个物品了 55 topK = 5 56 for col in range(0, col_num): 57 # 每个用户已经有过正面行为的物品索引 58 col_nonzero = list(np.nonzero(sparse_matrix[:,col])[0]) 59 60 # 拟合的物品用户评分矩阵中的用户列，按照分数从大到小给对应的物品索引排序 61 result_col = list(result_matrix[:, col]) 62 result_col_list = list(map(result_col.index, heapq.nlargest(len(result_col), result_col))) 63 result_sorted = list(set(result_col_list) - set(col_nonzero)) 64 65 # 由于set会排序，所以让result_sorted按照result_col_list中元素出现的顺序排序一次 66 result_sorted.sort(key = result_col_list.index) 67 print('user[{}] recomm top{} item index{}.'.format(col, topK, result_sorted[0:topK]))
代码运行结果
物品、用户对应的子矩阵
分别为：
item_feature_matrix: [[ 0.03815294 0.27363359 0.77153174 0.54227361] [ 0.21269573 0.68036887 0.2426544 0.42999241] [ 0.31245104 0.75214563 0.40265404 0.2350196 ] [ 0.03466879 0.63767061 0.85363927 0.15510582] [ 0.48829391 0.93028627 -0.02388764 0.05320366] [ 0.00516792 0.64333964 0.72513124 0.61296299] [ 0.24170614 -0.13107477 0.59153735 0.62460286] [ 0.47115183 0.11047297 0.45108335 0.46131663] [ 0.20375485 0.73869132 0.03624613 0.60637489] [ 0.46122603 0.64964078 -0.08344563 0.67410082] [ 0.01296464 0.47506547 0.46080148 0.43718642] [ 0.462169 0.0268829 0.16953691 0.73759859] [ 0.71898992 0.61008224 0.60496649 0.42481064] [ 0.32563393 0.08168112 0.71311962 0.24928481] [ 0.01956568 0.73094537 0.20346526 0.36358169] [ 0.75956275 0.22251061 0.43324305 0.23199092] [ 0.54071006 0.54451661 0.08181357 0.10345228] [ 0.68317703 0.13680793 0.88146372 0.08597072] [-0.03022014 0.84148064 0.04340872 0.86745991] [ 0.53380272 0.34188102 0.51066672 0.41949286] [ 0.28193541 0.13412116 0.27593822 0.12426465] [ 0.37660074 0.17320095 0.22557869 0.20447491] [ 0.55412482 0.15832019 0.2964651 0.22434787] [ 0.21295654 0.64320058 0.72915644 -0.05395697] [ 0.83787569 0.07282222 0.33267275 0.54186705] [-0.02624395 0.8608491 0.69352583 0.30311564] [ 0.26762334 0.24108357 0.92964933 0.19015744] [ 0.71989345 0.26675654 0.17264111 0.43218162] [ 0.74211209 0.23895462 0.10939728 0.44135878] [ 0.39646097 0.15764006 0.48071145 0.42536731] [ 0.47313741 0.6923975 0.02877095 0.47659928] [ 0.3964035 0.9081282 0.05172086 0.37801864] [ 0.2466458 0.20124427 0.36397067 0.47527814] [ 0.06217036 0.81991677 0.37383756 0.17195484] [ 0.34001096 0.06386024 0.64754074 0.33551256] [ 0.17864421 0.37399402 0.59208105 0.46959896] [ 0.14622162 0.74723429 0.16770708 0.41126472] [ 0.26762325 0.61986371 0.51516632 0.27664387] [ 0.88204065 0.1301938 0.13773601 0.38367914] [ 0.93563982 0.17763096 0.90713193 0.14697771] [ 0.15076967 0.21750972 0.84224829 0.27047667] [ 0.65787809 0.2914638 0.46572356 0.30757336] [ 0.71913927 0.38850381 0.15213576 -0.07125686] [ 0.36025604 0.21870606 0.90031444 0.00993696] [ 0.59402938 0.5708491 0.65787947 0.1937847 ] [ 0.69487063 0.20212852 0.08989774 0.63226233] [ 0.23587344 0.60192867 0.72874217 -0.01704428] [ 0.14957317 0.54256011 0.62184701 0.66951593] [ 0.78557413 0.32944578 0.13396761 0.14370084] [ 0.0907467 0.45201933 0.84804909 0.00250526]] user_feature_matrix: [[ 0.11521203 0.14045107 0.09893995 0.46542164] [ 0.81278426 0.06100057 0.66760294 0.45208333] [ 0.45227198 0.79438182 0.31951865 0.50106877] [ 0.11086751 0.39516757 0.57132531 0.29973682] [ 0.36382007 0.69859556 0.77124287 0.25699502] [ 0.72048434 0.36360587 0.85453204 0.79225544] [ 0.16579383 0.5418168 0.5960547 0.69995107] [ 0.8862315 0.41835196 0.20163866 0.21113462] [ 0.14690413 0.71180756 -0.02804777 0.84006708] [ 0.47037296 0.79730002 0.7267128 0.84177168] [ 0.19275169 0.66012905 0.88471975 0.37760039] [ 0.65239629 0.7743223 0.43434867 0.10640868] [ 0.38770015 0.47424973 0.44899782 0.67001985] [ 0.76245003 0.43299962 0.75784507 0.33222405] [ 0.1782431 0.370513 0.5876269 0.41947032] [ 0.7524921 0.72064244 0.58366462 0.56454841] [ 0.53809163 0.09403074 0.49585232 0.46550333] [ 0.17726497 0.6283496 0.0741329 0.34174636] [ 0.3612117 0.31973043 0.28178275 0.44410623] [ 0.85634395 0.51091266 0.39624926 0.37847793] [ 0.79642014 0.76113757 0.41079405 -0.00518456] [ 0.50743275 0.40433838 0.70386364 0.17195002] [ 0.2412731 0.73655272 0.86250831 0.81349939] [ 0.7328936 0.02880849 0.84816602 0.35709811] [ 0.57369757 0.5842212 0.49556646 0.8725488 ] [ 0.24687048 0.19972617 0.14421856 0.60989785] [ 0.80179489 0.26021455 0.79437174 0.86692789] [ 0.17563947 0.41955746 0.31737709 0.84267472] [ 0.04766648 0.60736814 0.20658815 0.11064433] [ 0.31420935 0.87476689 0.30739564 0.52996786] [ 0.32129587 0.76035271 0.72569946 0.41898513] [ 0.13950463 0.97666771 0.18756906 0.31162981] [ 0.4522104 0.53116359 0.50864605 0.59175385] [ 0.67546585 0.46083944 0.37905385 0.79809776] [ 0.3435977 0.66310882 0.31560013 0.40799053] [ 0.26792403 0.59208668 0.61720541 0.55751939] [ 0.32492177 0.42609086 0.20138479 0.16960351] [ 0.79606978 0.55877004 0.67048217 0.58331945] [ 0.40184358 0.00869697 0.32286543 0.60983446] [ 0.43613464 0.46799383 0.27870131 0.4992056 ] [ 0.3816617 0.76788648 0.13587515 0.01958339] [ 0.71408577 0.53743082 0.05368163 1.01253652] [ 0.34386213 0.90100965 0.53262177 0.02811771] [ 0.70260885 0.77541117 0.82230193 0.29138748] [ 0.04203174 0.37936115 0.82411838 0.85913914] [ 0.1746978 0.44784718 0.76885937 0.3900209 ] [ 0.50579837 0.16598252 0.58226507 0.25448044] [ 0.81859737 0.22757085 0.77750205 0.1910416 ] [ 0.20725001 0.64509784 0.59502809 1.02363971] [ 0.16471448 0.48178428 0.28084478 0.29215533] [ 0.01222401 0.55149508 0.7725182 0.06630703] [ 0.50833839 0.59923644 0.90424154 0.87592624] [ 0.67162359 0.19867175 0.32155348 0.32065225] [ 0.42442865 0.59241858 0.17491728 0.39415923] [ 0.1535186 0.20994201 0.30739078 0.18394098] [ 0.67908257 0.24931415 0.19230305 0.45797062] [-0.0448856 0.64775836 0.81445933 0.79959512] [ 0.84439248 0.49750907 0.71243761 0.51918054] [ 0.61084886 0.86587013 0.20966544 0.42533917] [ 0.62748228 0.14239228 0.38609916 0.69799837] [ 0.08686589 0.69612364 0.40614262 0.32263457] [ 0.93369914 0.69872604 0.76729961 0.58844938] [ 0.01492096 0.70225254 0.54499709 0.6397506 ] [ 0.93998893 0.3638866 0.73254678 0.67495334] [ 0.24660158 0.21552205 0.37580357 0.38768617] [ 0.88774131 0.1108508 0.48685424 0.63140158] [ 0.62415843 0.22168141 0.33810889 0.30885676] [ 0.42396588 0.80783038 0.06019684 0.31792649] [ 0.61802937 0.22571977 0.52555304 0.73425222] [ 0.69751088 -0.04913395 0.73970307 0.78167312] [ 0.62413117 0.71929267 1.00899681 0.41542025] [ 0.26003222 0.78034116 0.47072729 0.4445519 ] [ 0.40464672 0.4349067 0.0841264 0.06221471] [ 0.05482579 0.1007112 0.09233979 0.5174141 ] [ 0.69532606 0.04273825 0.35819236 0.03961402] [ 0.46452231 0.26013452 0.44456707 0.50689449] [ 0.20649246 0.87409328 0.3567542 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对每个用户推荐的结果：
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