内积空间是一种特殊的赋范空间，从泛函分析发展的历史上看，人们首先注意到的是内积空间而不是赋范空间。
内积空间特别是空间（完备的内积空间）是对维欧氏空间最自然的“推广”，推广到无穷维空间（存在收敛性问题）。他们具有与欧氏空间十分相近的性质。
空间迄今为止仍然是应用最广泛的一类空间。
在内积空间和空间中使用的“几何”概念和术语，与欧几里得几何中的语言相似，它是由E.Schimidt在1908年引入的。
内积空间的基本性质
内积空间的定义
在中可以定义距离、范数、内积这些概念，设，其内积定义为：
于是我们有：
定义1： 是数域上的线性空间，如果对于任意，有中的一个数与它们对应，使得对任意的，满足：
- 当且仅当（正定性）；
- （共轭对称性）；
- ；
- 。
则称是上的一个内积，定义了内积的线性空间称为内积空间。
注1：是一个二元函数，对于每一个固定的是上的一个线性函数（线性泛函）。（因为满足3. 4. 两条）
由内积生成的范数
在内积空间中，希望定义元素的范数，且
定理4：（Schwarz不等式）
设是内积空间，对于有
定理6：每个内积空间按范数成为一个赋范空间。
注：内积空间中定义了范数，由范数又可以定义距离，这样就有了收敛性等距离空间中所具有的性质。
不等式可以写成：
由不等式我们还可以得到：
定理7：设是内积空间，则内积是关于的连续函数，即当时（是点列）
内积和由其生成范数之间的关系
- 平行四边形法则：平行四边形对角线平方和等于其四条边平方和
特别地，在有了正交性的概念以后，平行四边形法则也成为了勾股定理。
注：由内积可定义一个范数 内积空间必定是一个赋范空间。再由范数诱导出的距离 又可以成为一个距离空间。
- 极化恒等式
这是内积空间的特征性质。
完备的内积空间
定义12：完备的内积空间称为空间
内积空间是否完备是指由内积产生的赋范空间是否完备，即距离空间中的列是否都收敛。
定理13：一个完备空间的闭子空间也是完备的。
注：空间是否完备是由全体列是否都收敛决定的。由距离空间完备化定理，任何一个内积空间都可以完备化（因为内积空间也是一个距离空间），即：不完备的内积空间，可以完备成一个空间，等距同构于中的一个稠子集。
正交与正交分解
正交的定义
定义1：设是内积空间，，若，则称与正交，记为。
元素正交于集合：
定义3：设是内积空间，，如果对任意的，有，则称正交与，记为。
集合与集合正交：
定义4： 设是内积空间，和是中的两个子集，如果对于任意的，有，则称正交于，记为。
正交补集
定义5：设是内积空间的子集，则中所有与正交的元素组成的集合称为的正交补，记为。
定理7：设是内积空间，是的任意子集，则是中的闭子空间。
注：是的子集，不一定是子空间，但是是的闭子空间。
子空间指的是集合内元素的线性组合仍属于该集合则称为是子空间。闭指的是对极限运算是封闭的，取极限后仍在空间里面。
定理8：设是内积空间的一个线性子空间，则当且仅当对，有。
最佳逼近
在前一章节中我们定义了一点到一个集合的距离：
如果存在点，使得：
则称是在集合中的最佳逼近点。即是集合中与“最接近的点”。
下确界就是距离都大于等于这个值，即距离能取到的最小值。
在空间，最佳逼近的问题相对比较简单。
在实际问题中，集合一般是一个需要搜索的空间（也可能是个全空间），我们要在这个空间中找到一个点（空间中包含无数多个点）使得与我们给定的真实值之间的距离最短。
首先引进严格凸的概念：
定义9：一个赋范空间称为严格凸的，如果对于任意的，并且（即单位向量），都有
注：为任意凸组合。
定理10：内积空间是严格凸的赋范空间。（其他的赋范空间可能不是严格凸的）
对于严格凸的空间，我们有
定理11：设是空间中的非空闭凸集，则对于任意的，存在唯一的最佳逼近点，使得
注：闭的保证了存在性，凸集保证了唯一性。
空间的正交分解
定理12（正交分解定理）：设H是空间，是中的闭子空间，则对于任意的，存在唯一的以及，使得
并且
注1：是的真闭线性子空间，
- ，存在唯一的使得，这里.
- 是在上的投影；
- 是在中最佳逼近点，. ，其中表示两个子空间的正交直接和。
正交系和正交投影
在维欧氏空间，选定个相互正交的向量，则形成维空间中的一组正交基，即在空间中建立了一组正交坐标系。
空间中任意一个元素都可以由这组坐标的线性组合表示：
其中，是在上的投影。并且向量的长度：
内积空间中的正交系
先给出正交系和标准正交系的概念：
定义1：设是内积空间中的非零元素组成的集合。如果当时，，则称是中的一个正交系。若称是一个标准正交系。
正交投影
定理5：设是内积空间中的标准正交系，是个数，当且仅当时，
取得最小值。
注1：和张成的子空间正交。
注2：称为在上的投影，到的距离为。
Fourier 级数（分解）
定义8：设是内积空间中的标准正交系，对于，我们称
为关于的Fourier级数，为Fourier系数，即在上的正交投影。
Bessel 不等式和 Fourier 级数的收敛性
一般来说，内积空间中的正交系可能是不可数集，下面仅讨论由可数（可列）多个元素组成的正交系。
定理9（Bessel 不等式）：设是内积空间中的标准正交列，则对于任意的，有
注：与标准正交列相对应的Fourier系数（坐标）是平方可和的，其和小于或等于。
定理10：设是内积空间中的标准正交列，则对于任意的，有
由正项级数收敛的必要条件可知。
正交基和正交列的完备性
正交基
定义3：设是中的正交系，如果它张成的子空间的闭包是全空间，则将称为是的正交基。
正交列的完备性
定义6：设是内积空间，是中的标准正交列，。若
称关于的 Parseval 等式成立。
如果对于任意的， Parseval 等式成立，则称是完备的。
注1：在二维欧氏空间中，Parseval 等式就是勾股定理。
注2：在空间中，关于的 Fourier 级数收敛到，当且仅当关于的 Parseval 等式成立。
可分的Hilbert空间
线性无关组的正交化算法
利用 Gram-Schmidt 正规正交化算法找到一组标准正交列。
可分的 空间与 等距同构
空间可分指的是空间中存在可数稠密子集。
定理1：一个无穷维的 空间一定包含一个标准正交列。
当内积空间完备时，我们有：
定理3：是一个 空间，则可分，当且仅当中具有至多可数（可列）的标准正交基。
如果中元素个数，则等距同构于，是线性空间的数域；
如果，则等距同构于空间。
注：任何一个无穷维可分的 空间都可以表示为“坐标形式”的空间，即可分的内积空间中的每个元素都与一组由可数（可列）无穷有序数组组成的坐标一一对应。