八皇后问题的两个高效的算法(回溯与递归)

序言

八皇后问题是一个经典的问题,在一个N*N的棋盘上放置N个皇后,每行一个并使其不能互相攻击(同一行、同一列、同一斜线上的皇后都会自动攻击)。

求解八皇后问题是算法中回溯法应用的一个经典案例

       回溯算法也叫试探法,它是一种系统地搜索问题的解的方法。回溯算法的基本思想是:从一条路往前走,能进则进,不能进则退回来,换一条路再试。

      在现实中,有很多问题往往需要我们把其所有可能穷举出来,然后从中找出满足某种要求的可能或最优的情况,从而得到整个问题的解。回溯算法就是解决这种问题的“通用算法”,有“万能算法”之称。N皇后问题在N增大时就是这样一个解空间很大的问题,所以比较适合用这种方法求解。这也是N皇后问题的传统解法,很经典。

      下面是算法的高级伪码描述,这里用一个N*N的矩阵来存储棋盘:

      1) 算法开始, 清空棋盘,当前行设为第一行,当前列设为第一列

      2) 在当前行,当前列的位置上判断是否满足条件(即保证经过这一点的行,列与斜线上都没有两个皇后),若不满足,跳到第4步

      3) 在当前位置上满足条件的情形:

                 在当前位置放一个皇后,若当前行是最后一行,记录一个解;

                 若当前行不是最后一行,当前行设为下一行, 当前列设为当前行的第一个待测位置;

                 若当前行是最后一行,当前列不是最后一列,当前列设为下一列;

                 若当前行是最后一行,当前列是最后一列,回溯,即清空当前行及以下各行的棋盘,然后,当前行设为上一行,当前列设为当前行的下一个待测位置;

                以上返回到第2步

      4) 在当前位置上不满足条件的情形:

                若当前列不是最后一列,当前列设为下一列,返回到第2步;

                若当前列是最后一列了,回溯,即,若当前行已经是第一行了,算法退出,否则,清空当前行及以下各行的棋盘,然后,当前行设为上一行,当前列设为当前行的下一个待测位置,返回到第2步; 

        算法的基本原理是上面这个样子,但不同的是用的数据结构不同,检查某个位置是否满足条件的方法也不同。为了提高效率,有各种优化策略,如多线程,多分配内存表示棋盘等。

 

使用递归时的核心算法

//放置皇后到棋盘上
void place(int k, int n)
{
int j;
if (k > n)
print(n); //递归出口
else
for (j = 1; j <= n; j++)   //试探第k行的每一个列
if (find(k, j))
{
q[k] = j;   //保存位置
place(k + 1, n);  //接着下一行
}
}

回溯算法的核心算法


void eight_queen(int line) {
//在数组中为0-7列
for (int list = 0; list < 8; list++) {
//对于固定的行列,检查是否和之前的皇后位置冲突
if (Check(line, list)) {
//不冲突,以行为下标的数组位置记录列数
Queenes[line] = list;
//如果最后一样也不冲突,证明为一个正确的摆法
if (line == 7) {
//统计摆法的Counts加1
Counts++;
//输出这个摆法
print();
//每次成功,都要将数组重归为0
Queenes[line] = 0;
return;
}
//继续判断下一样皇后的摆法,递归
eight_queen(line + 1);
//不管成功失败,该位置都要重新归0,以便重复使用。
Queenes[line] = 0;
}
}
}

八个皇后在8x8棋盘上共有4,426,165,368(64C8)种摆放方法,但只有92个互不相同的解。如果将旋转和对称的解归为一种的话,则一共有12个独立解,具体如下:

八皇后问题的两个高效的算法(回溯与递归)_第1张图片

 

 

 

完整代码:

/*
递归法实现
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

const int N = 20;   //最多放皇后的个数
int q[N];         //i表示皇后所在的行号,
 //q[i]表示皇后所在的列号
int cont = 0;     //统计解的个数
//输出一个解
void print(int n)
{
int i, j;
cont++;
printf("第%d个解:", cont);
for (i = 1; i <= n; i++)
printf("(%d,%d) ", i, q[i]);
printf("\n");
for (i = 1; i <= n; i++)        //行
{
for (j = 1; j <= n; j++)    //列
{
if (q[i] != j)
printf("x ");
else
printf("Q ");
}
printf("\n");
}
}
//检验第i行的k列上是否可以摆放皇后
int find(int i, int k)
{
int j = 1;
while (j < i)  //j=1~i-1是已经放置了皇后的行
{
//第j行的皇后是否在k列或(j,q[j])与(i,k)是否在斜线上
if (q[j] == k || abs(j - i) == abs(q[j] - k))
return 0;
j++;
}
return 1;
}
//放置皇后到棋盘上
void place(int k, int n)
{
int j;
if (k > n)
print(n); //递归出口
else
for (j = 1; j <= n; j++)   //试探第k行的每一个列
if (find(k, j))
{
q[k] = j;   //保存位置
place(k + 1, n);  //接着下一行
}
}
int main(void)
{
int n;
printf("请输入皇后的个数(n<=20),n=:");
scanf("%d", &n);
if (n > 20)
printf("n值太大,不能求解!\n");
else
{
printf("%d皇后问题求解如下(每列的皇后所在的行数):\n", n);
place(1, n);        //问题从最初状态解起
printf("\n");
}
system("pause");
return 0;
}

/*
回溯法实现
*/
#include <stdio.h>
int Queenes[8] = { 0 }, Counts = 0;
int Check(int line, int list) {
//遍历该行之前的所有行
for (int index = 0; index < line; index++) {
//挨个取出前面行中皇后所在位置的列坐标
int data = Queenes[index];
//如果在同一列,该位置不能放
if (list == data) {
return 0;
}
//如果当前位置的斜上方有皇后,在一条斜线上,也不行
if ((index + data) == (line + list)) {
return 0;
}
//如果当前位置的斜下方有皇后,在一条斜线上,也不行
if ((index - data) == (line - list)) {
return 0;
}
}
//如果以上情况都不是,当前位置就可以放皇后
return 1;
}
//输出语句
void print()
{
for (int line = 0; line < 8; line++)
{
int list;
for (list = 0; list < Queenes[line]; list++)
printf("0");
printf("#");
for (list = Queenes[line] + 1; list < 8; list++) {
printf("0");
}
printf("\n");
}
printf("================\n");
}
void eight_queen(int line) {
//在数组中为0-7列
for (int list = 0; list < 8; list++) {
//对于固定的行列,检查是否和之前的皇后位置冲突
if (Check(line, list)) {
//不冲突,以行为下标的数组位置记录列数
Queenes[line] = list;
//如果最后一样也不冲突,证明为一个正确的摆法
if (line == 7) {
//统计摆法的Counts加1
Counts++;
//输出这个摆法
print();
//每次成功,都要将数组重归为0
Queenes[line] = 0;
return;
}
//继续判断下一样皇后的摆法,递归
eight_queen(line + 1);
//不管成功失败,该位置都要重新归0,以便重复使用。
Queenes[line] = 0;
}
}
}
int main() {
//调用回溯函数,参数0表示从棋盘的第一行开始判断
eight_queen(0);
printf("摆放的方式有%d种", Counts);
return 0;
}

 

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