八皇后问题是一个经典的问题,在一个N*N的棋盘上放置N个皇后,每行一个并使其不能互相攻击(同一行、同一列、同一斜线上的皇后都会自动攻击)。
求解八皇后问题是算法中回溯法应用的一个经典案例
回溯算法也叫试探法,它是一种系统地搜索问题的解的方法。回溯算法的基本思想是:从一条路往前走,能进则进,不能进则退回来,换一条路再试。
在现实中,有很多问题往往需要我们把其所有可能穷举出来,然后从中找出满足某种要求的可能或最优的情况,从而得到整个问题的解。回溯算法就是解决这种问题的“通用算法”,有“万能算法”之称。N皇后问题在N增大时就是这样一个解空间很大的问题,所以比较适合用这种方法求解。这也是N皇后问题的传统解法,很经典。
下面是算法的高级伪码描述,这里用一个N*N的矩阵来存储棋盘:
1) 算法开始, 清空棋盘,当前行设为第一行,当前列设为第一列
2) 在当前行,当前列的位置上判断是否满足条件(即保证经过这一点的行,列与斜线上都没有两个皇后),若不满足,跳到第4步
3) 在当前位置上满足条件的情形:
在当前位置放一个皇后,若当前行是最后一行,记录一个解;
若当前行不是最后一行,当前行设为下一行, 当前列设为当前行的第一个待测位置;
若当前行是最后一行,当前列不是最后一列,当前列设为下一列;
若当前行是最后一行,当前列是最后一列,回溯,即清空当前行及以下各行的棋盘,然后,当前行设为上一行,当前列设为当前行的下一个待测位置;
以上返回到第2步
4) 在当前位置上不满足条件的情形:
若当前列不是最后一列,当前列设为下一列,返回到第2步;
若当前列是最后一列了,回溯,即,若当前行已经是第一行了,算法退出,否则,清空当前行及以下各行的棋盘,然后,当前行设为上一行,当前列设为当前行的下一个待测位置,返回到第2步;
算法的基本原理是上面这个样子,但不同的是用的数据结构不同,检查某个位置是否满足条件的方法也不同。为了提高效率,有各种优化策略,如多线程,多分配内存表示棋盘等。
使用递归时的核心算法
//放置皇后到棋盘上
void place(int k, int n)
{
int j;
if (k > n)
print(n); //递归出口
else
for (j = 1; j <= n; j++) //试探第k行的每一个列
if (find(k, j))
{
q[k] = j; //保存位置
place(k + 1, n); //接着下一行
}
}
回溯算法的核心算法
void eight_queen(int line) {
//在数组中为0-7列
for (int list = 0; list < 8; list++) {
//对于固定的行列,检查是否和之前的皇后位置冲突
if (Check(line, list)) {
//不冲突,以行为下标的数组位置记录列数
Queenes[line] = list;
//如果最后一样也不冲突,证明为一个正确的摆法
if (line == 7) {
//统计摆法的Counts加1
Counts++;
//输出这个摆法
print();
//每次成功,都要将数组重归为0
Queenes[line] = 0;
return;
}
//继续判断下一样皇后的摆法,递归
eight_queen(line + 1);
//不管成功失败,该位置都要重新归0,以便重复使用。
Queenes[line] = 0;
}
}
}
八个皇后在8x8棋盘上共有4,426,165,368(64C8)种摆放方法,但只有92个互不相同的解。如果将旋转和对称的解归为一种的话,则一共有12个独立解,具体如下:
完整代码:
/*
递归法实现
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
const int N = 20; //最多放皇后的个数
int q[N]; //i表示皇后所在的行号,
//q[i]表示皇后所在的列号
int cont = 0; //统计解的个数
//输出一个解
void print(int n)
{
int i, j;
cont++;
printf("第%d个解:", cont);
for (i = 1; i <= n; i++)
printf("(%d,%d) ", i, q[i]);
printf("\n");
for (i = 1; i <= n; i++) //行
{
for (j = 1; j <= n; j++) //列
{
if (q[i] != j)
printf("x ");
else
printf("Q ");
}
printf("\n");
}
}
//检验第i行的k列上是否可以摆放皇后
int find(int i, int k)
{
int j = 1;
while (j < i) //j=1~i-1是已经放置了皇后的行
{
//第j行的皇后是否在k列或(j,q[j])与(i,k)是否在斜线上
if (q[j] == k || abs(j - i) == abs(q[j] - k))
return 0;
j++;
}
return 1;
}
//放置皇后到棋盘上
void place(int k, int n)
{
int j;
if (k > n)