【初等数论】 01 - 数学的皇后

  数学的主题是数和形,它们是最基础、最久远的数学概念。克罗内克说过:“上帝创造了自然数,其它都是人的作品”,所以我们选择从数开始说起。数论(Number Theory)专门研究自然数(或整数),这个看似无意义的智力游戏,其实不光是数学家们的思维乐园,它更是孕育新思想、新方法的肥沃土壤。即使我们已经有了耀眼的成就,却好像还不曾见过她的真面目,在其简单的外表下,总有不为人知的深邃。高斯曾经说过:“数学是科学的皇后,而数论则是数学的皇后”,不管你觉得数论“有用”与否,她至高无上的威严是无法撼动的。

  数论最开始的称号就是我们所熟悉的算术,在古希腊时期就有了初步的发展。欧几里得的《几何原本》中就有了一些经典的结论,比如素数有无穷多个,还有大家熟悉的辗转相除法。包括同时期的素数筛选法,对后来的数论研究都很有启发性。古希腊末期的丢潘图唯独偏爱不定方程,所著的《算术》对数进行了超乎想象的讨论。也正是这本书,为今后的数论埋下了神奇的种子。当欧洲文明在中世纪进入漫长的沉寂时,中国数学界却异常地活跃,主要的数学著作中有很多是数论相关的。只可惜中国人不善于将方法转化成理论,从而也就止于各种方法技巧,并未得到比较深刻的理论体系。

  文艺复兴时期,数论迎来了它短暂的萌芽。百无聊赖的律师费马,将他的所有业余时间都花在了科学上(主要是数学),而丢潘图的《算术》更是让他深深地陷入了数论的泥潭。仅靠他在书页空白处的笔记,就已经得出了丰富而深刻的结论以及各种奇妙的方法,著名的费马猜想更是足足困扰了后人三百多年。十七、十八世纪是分析学的天下,所有学科都在微积分阴影的笼罩之下。然而全能王欧拉凭借其超人的才华,得到了更多数论方面的深刻结论,并开始挖向了解析数论的宝藏。

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    Fermat(1601 - 1665)            Euler(1707 - 1783)          Gauss(1777 - 1855)

  至此,数论已经有了非常丰富的结论,但缺乏一个完整的理论体系,这也限制了它进一步的发展。高斯的《算术研究》集前人的成就于一体,提出了同余理论并扩展了整数的概念,为代数数论提供了理论储备。尤其是得到了被称为“数论之酵母”的二次互反律,一下子将数论带进了崭新的邻域。《算术研究》标志着数论作为一个学科的建立,并直接将其带入了现代意义的数论。

  接下来,沿着解析数论和代数数论两个不同的方向,数论在现代数学的道路上飞奔。当与近代最尖端的代数几何相结合时,数论步入了其最深刻的阶段,这就是当今的“算术代数几何”(注意!这是一门学科)。同时,数论还摆脱了以往纯数学的帽子,延伸出了多个应用分支,包括编码学、计算数论、组合数论等,这门古老的学科终于开始服务大众了。

  也许没有一个学科像数论这样,在理论数学、应用数学甚至娱乐数学中都扮演者重要的角色。令人欣慰的是,只要有小学数学的知识,我们就可以开始这段旅程。前方的路坎坷而漫长,也许我们进不了那最终的圣殿,但如果能欣赏到了路边的风景,其实也就足够了。当然还是要冷静地提醒你,这里只是初等数论,仅仅包含了整除、同余、不定方程等最基础的数论概念。在学会奔跑之前,先要学会爬行,那就让我们从这里开始匍匐前进……

 

  本系列目录

    02 - 整除与公约数

    03 - 同余和剩余系

    04 - 同余方程

    05 - 指数和原根

    06 - 不定方程

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【前序学科】 实数系统

【参考资料】

[1] 《初等数论》(3rd),潘承洞,2013

  国内最好、使用最广泛的初等数论教材,注重思想和理论体系的建立。结构清晰合理,表述严格精准。大量的习题不仅能巩固知识,还具有启发性和挑战性,可以看作是教材的延伸部分。

[2] 《数论导引》,华罗庚,1957

  不得不说是国内的一部经典教材,它深刻而广泛地介绍了当时数论的各个分支。语言简练,结构清晰,但内容却极其丰富。因为年代久远,专业名词还未统一,所以读起来会稍微不畅。

[3] 《初等数论》(3rd),闵嗣鹤,2003

  表述简洁却不失精准,内容组织合理精巧,难度恰当,非常适合初学者。如果你只是想了解初等数论的基本思想,但又不要过于肤浅,可以从这本书看起。

[4] 《初等数论》,于秀源,2002

  不错的入门书籍,内容平实,但例题比较新奇,难度不大却较有趣。

[5] 《初等数论(I,II,III)》,陈景润,2012

  内容非常初等,适合只有初中基础的人学习。而且有很多趣味数学的内容,整体感觉是套科普书。

[6] 《初等数论及其应用》,阎满富,1999

  比较普通,不是很看重理论的建立,有点奥数的倾向。内容浅显,中学生搞奥数的可看看。

[7] 《初等数论难题集(I)》,刘培杰,2009

  初等数论的奥数习题集,题量巨大,难度不低,作者欲出3卷,还未出完。数论习题不仅对奥数和数论本身有利,更是整个数学思维不可或缺的一部分。我暂时还没有时间做,先收藏并推荐!

[8] 《初等数论100例》,柯召,2011

  一本习题集小册子,可作练习用。大部分问题只用到整除和同余的概念,搞奥数的可以做一做。

[9] 《数论妙趣--数学女王的盛情款待》,H.贝勒,2000

  收集了历史上大量初等数论的趣味故事和问题,以及对问题的各种解法,其中也夹杂一些初等数论的重要结论。作者参考了大量的著作,可作为趣味数论的参考资料,也可以用作数论算法的参考书。

[10] 《谈谈素数》,王元,1978

  关于素数的一个科普小册子,前半部分较初等,入门可读,后半部分属高级内容,读来消遣也不错。

[11] 《A Introduction to The Theory of Numbers》(6th),G.H.Hardy,2008

  经典巨著,涵盖了数论的大部分重要内容和结论。内容紧凑,材料丰富,既有基础定义和结论,也有大量的扩展材料。

[12] 《A Friendly Introduction to Number Theory》(3rd),J.H.Silverman,2005

  非常棒的入门书籍,写作方法清新流畅,可读性强。集科普与入门于一体,为非专业人士而写,工科生可以先从这一本看起。

[13] 《Elementary Number Theory》(7th),D.M.Burton,2010

[14] 《Elementary Number Theory》(2nd),U.Dudley,2008

[15] 《Elementary Number Theory with Applications》(2nd),T.Koshy,2007

[16] 《Elementary Number Theory and Its Applications》(6th),K.H.Rosen,2010

  几本不错的英文版入门书,内容比较基础但很丰富,偏应用。

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