聊一聊数据结构图的克鲁斯卡尔算法

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。
具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。

图解

第1步：将边加入R中。
边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第2步：将边加入R中。
上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第3步：将边加入R中。
上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第4步：将边加入R中。
上一步操作之后，边的权值最小，但会和已有的边构成回路；因此，跳过边。同理，跳过边。将边加入到最小生成树结果R中。
第5步：将边加入R中。
上一步操作之后，边的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第6步：将边加入R中。
上一步操作之后，边的权值最小，但会和已有的边构成回路；因此，跳过边。同理，跳过边。将边加入到最小生成树结果R中。

此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是： 。

克鲁斯卡尔算法分析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。

问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"(关于这一点，后面会通过图片给出说明)。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。 以下图来进行说明：

图片发自App

在将 加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：

(01) C的终点是F。 
(02) D的终点是F。 
(03) E的终点是F。 
(04) F的终点是F。

关于终点，就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。 因此，接下来，虽然是权值最小的边。但是C和E的重点都是F，即它们的终点相同，因此，将加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。

克鲁斯卡尔算法的代码说明

有了前面的算法分析之后，下面我们来查看具体代码。这里选取"邻接矩阵"进行说明，对于"邻接表"实现的图在后面的源码中会给出相应的源码。

1. 基本定义

// 边的结构体
private static class EData {
    char start; // 边的起点
    char end;   // 边的终点
    int weight; // 边的权重

    public EData(char start, char end, int weight) {
        this.start = start;
        this.end = end;
        this.weight = weight;
    }
};

EData是邻接矩阵边对应的结构体。

public class MatrixUDG {

    private int mEdgNum;        // 边的数量
    private char[] mVexs;       // 顶点集合
    private int[][] mMatrix;    // 邻接矩阵
    private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;   // 最大值

    ...
}

MatrixUDG是邻接矩阵对应的结构体。mVexs用于保存顶点，mEdgNum用于保存边数，mMatrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，mMatrix[i][j]=1，则表示"顶点i(即mVexs[i])"和"顶点j(即mVexs[j])"是邻接点；mMatrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。

2. 克鲁斯卡尔算

/*
 * 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树
 */
public void kruskal() {
    int index = 0;                      // rets数组的索引
    int[] vends = new int[mEdgNum];     // 用于保存"已有最小生成树"中每个顶点在该最小树中的终点。
    EData[] rets = new EData[mEdgNum];  // 结果数组，保存kruskal最小生成树的边
    EData[] edges;                      // 图对应的所有边

    // 获取"图中所有的边"
    edges = getEdges();
    // 将边按照"权"的大小进行排序(从小到大)
    sortEdges(edges, mEdgNum);

    for (int i=0; i