算法的学习-基础

前言

在参加面试的时候，多多少少都会问到一些关于算法的知识。

这其实是有原因的：在多个人专业知识相同的情况下，公司为什么选择放弃他人而选择你，其中的一个因素就是看你的算法基础。

本文将详细介绍算法的基础概念，如果对算法不太理解的同学可以借鉴参考。

算法基础

一、概念

根据《算法导论第三版》中的描述：算法就是任何问题的解决过程，它接收一些值或集合，对这些值或集合进行加工，最后产生一些值或集合作为输出，算法指的就是将输入转换为输出这个过程中的一系列计算流程。

简而言之，我们可以说算法就是解决一个特定任务的一系列步骤。

二、特征

一个算法应具有以下五个重要特征：

• 有穷性：算法必须在执行有限个步骤后终止，如果你设计的算法永无休止地尝试解决问题，那么它是无用的；
• 确切性：算法的每一步指令都必须具有确切的意义，并且在任何场景下，每一步指令都应该都没歧义；
• 有效性(可行性)：一个算法设计出来是用以解决某个问题的，如果你设计的算法不能解决问题，那么它也是无用的；
• 输入项：一个算法有0个或者多个输入，用来初始化算法，这主要看你设计的算法需不需要输入参数；
• 输出项：一个算法有1个或者多个输出。没有输出项的算法是毫无意义的，输出项反映了数据加工后的结果。

三、评定

针对同一个问题，可以用多种算法来解决，不过具体用哪个就由每个算法的效率来决定了。一个算法的质量优劣将会影响程序的执行效率。

那么如何分析一个算法的优劣呢？主要是从时间复杂度和空间复杂度来考虑：

1. 时间复杂度

指执行算法所需要的计算工作量，简单点说就是指执行算法所需要消耗的时间。

一个算法执行所耗费的时间，从理论上来讲是不能算出来的，必须通过计算机运行测试才能知道。

不过一个算法具体耗费多少时间我们并不关心，我们只需要知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。

一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例。哪个算法中语句执行次数多，它花费的时间就多。

此时我们引入时间频度的概念，记为T(n)。

n指的是问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。

我们想要呈现出它的变化规律，为此，我们引入了时间复杂度的概念。

一般来说，假设这个算法是问题规模为n的函数f(n)，那么时间复杂度就记做：

T(n) = O(f(n))

O在表达式中代表着最坏的情况，这里最坏的情况就是n = 无穷大。

简单来说，上述公式表达的含义就是在n趋于无穷大的时候，T(n) = f(n)。

f(n)指的是具体的函数，虽然对f(n)没有规定，但是我们一般尽可能地去简化f(n)。

例如：O(n²+n+1)=O(3n²-n+5)=O(9n²+5)=O(n²)

注意大O中是携带一个常数C的，所以f(n)一般不加系数。

为什么可以这样换算，为什么最后都可以换算为O(n²)？

这主要是因为当n趋于无限大时， n² 是远远大于 Cn的，也就是高次方项远远大于低次方项，导致低次方项完全可以忽略不计。

这就像是什么，我们把n²+3n+1想象为一棵树的话，n²就是主干部分，3n+1就是一些细枝末节，是完全可以忽略的。

下面我们就来举几个示例，计算它们的空间复杂度：

第一题：

int x = 0;  //执行1次
int y = 5;  //执行1次
x = 10;     //执行1次
int sum = x+y;  //执行1次

以上四条语句的频度均为1，该程序的执行时间是一个与n完全无关的常数。算法的时间复杂度就是常数阶，记做：T(n) = O(1)

假设这个算法有上千条语句，因为它的执行时间不会随着n的增长而变化，其执行时间也不过是一个较大的常数。

此类与n毫无关联的算法的空间复杂度均可以记为：T(n) = O(1)。

第二题：

int number = 0;     //执行一次
for(int i =0;i

语句一的频度为1。

语句二的频度为n+1。

语句三的频度为n。

所以上述代码的时间复杂度为：T(n) =1 + n+1 + n = 2n+2。

接着当n趋于无限大时，我们只需保留最高的次方项，即：T(n) = O(2n)，接着我们将系数省略到O中，即T(n)=O(n)。

第三题：

int number = 0;         //执行1次
for(int i =0;i

第三题可能有些难度，是一个嵌套的for循环，我们来一句一句分析。

语句一是一个频度为1的语句，和n无关，记为1。

语句二是一个外层for循环，执行次数为n+1，1代表的是当条件不满足时，结束循环的那次操作。

语句三是嵌套的for循环，自身的执行次数也是n+1，但是配合上外层的for循环，将会执行n次嵌套for循环，所以语句三的频度为：(n+1)*n。

语句四是嵌套for循环中的语句，一次嵌套for循环中的语句需要执行n次，而嵌套for循环也需要执行n次，所以语句四的频度为：n*n。

那么整个程序的时间复杂度即为：T(n) = 1+ n+1 + (n+1) * n + n * n = 2n² +2n + 2。

当n趋于无限大时，只保留最高次方项，并且省略系数，即：T(n) = O(n²);

通过上面三题的练习，各位看官对时间复杂度的计算过程应该已经了解了。

其实时间复杂度的真正计算，还是比较简单的，难在时间复杂度概念理解。

接下来我们来看一下常见的时间复杂度函数有哪些：

时间复杂度函数

从图中可以看出，随着n的变化，时间复杂度各个函数的变化规律。

这些常见的时间复杂度大小排序如下：Ο(1)＜Ο(log₂n)＜Ο(n)＜Ο(nlog₂n)＜Ο(n²)＜Ο(n³)＜…＜Ο(2ⁿ)＜Ο(n!)

我们应该尽可能使用时间复杂度小的算法，从而提升程序的运行效率。

2. 空间复杂度

算法的空间复杂度指的是一个算法所消耗的存储空间。

一个算法在计算机所占用的空间，由三方面决定：

• 存储算法本身所占用的空间；
• 算法输入输出的数据所占用的空间；
• 算法在运行过程中临时占用的空间。

存储算法本身所占用的空间与算法书写的长短成正比，要压缩这方面的存储空间，就必须编写出较短的算法。

算法输入输出数据所占用的空间是由这个算法要解决的问题决定的，针对同一问题，它占用的空间不会随着算法的变化而改变，但它确实占用着空间。

算法在运行过程中临时占用的空间会根据算法的不同而产生差异，也是我们最需要着重关心的一点。

有些算法只需要占用很少的临时工作单元，并且不会随问题规模的变大而变大，我们称这种算法是“就地”进行的，是节省存储的算法。

有些算法占用的临时工作单元数与解决的问题规模n有关，占用空间随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，一些常见的排序算法就属于这种情况，比如快速排序、归并排序，属于占用较多存储空间的算法。

当一个算法的空间复杂度不会随着问题规模的变化而变化时，可表示为O(1)。

当一个算法的空间复杂度与问题规模n呈线性比例关系时，可表示为O(n)。

同理，其他变化关系也可以推导出来。同时间复杂度相比，空间复杂度的分析还是比较简单的。

3. 其他

除了上述两条评定规则外，评价一个算法的质量还有其他几个因素：

• 正确性：算法的正确性是评价一个算法优劣最重要的标准！这个算法的结果是错误的，那么这个算法毫无意义。
• 可读性：可读性指的是人们理解这个算法的难易程度，当时间复杂度与空间复杂度相同的情况下，当然要选择易于人们理解的算法。
• 健壮性：健壮性是指一个算法对不合理数据输入的反应能力和处理能力，也称为容错性。

总结

本文是算法最基本的一些知识，看完本文，需要你完全理解下图的含义：

排序算法复杂度

后续还会针对算法，做一些更深入的分析，感谢各位看官的浏览。

鞠躬。

感谢

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算法的时间复杂度和空间复杂度-总结