（4.9）James Stewart Calculus 5th Edition：Newton’s Method

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Newton’s Method 牛顿法则

Newton’s Method 牛顿法则，
又叫 Newton-Raphson method 牛顿迭代法则

大体就是不停的迭代，求近似值，

在点 (x1, f(x1)) 做对应的切线

这个时候，如果和x轴的截点为（x2，0），则有：

当

的时候，可以得到：

同理，我们可以得到x3：

依次类推，可以不停的迭代下去
我们观察对应的图像：

大体在 f'(xn) != 0 的情况下：
有

当n足够大的时候，我们有稳定的值r：

当然，这里起始点比较重要，
Then Newton’s method fails and a better initial approximation x1 should be chosen.
比如，下图，虽然也是为了求r， 但是，到x2的时候，对应的切线和x轴的交点，超出了对应函数的定义域

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例子：

一些例子：
例子1

首先，我们可以得到

再根据原函数

大致取点，决定对应的起始点：

这里，我们发现x=2是让f(x)最接近0的
所以，我们起始点取值为2

由牛顿法则，可以得到：

根据我们先取的点，n = 1 的时候，我们知道对应的x值为2

可以求得，对应的x2 = 2.1

同理，可以求得x3 的值， 约等于 2.0946

例子2

我们知道，对应的值，就是下面方程的解：

可以得到，对应的导数

对应的牛顿法则，为：

简单判断，可以知道选取初始值为 x = 1，比较好
大体可以迭代求出：

所以，我们可以得到 小数点后8位的精度：

例子3

和上面一个例子类似，我们可以转化为

的解
也就是，

可以得到，对应的导数为：

分别画出y = cosx 和 y = x 的图像，大体我们可以选择起始点为 x = 1

同理，我们可以求出对应的xn的值：

所以，对应的 6为精度的值为： 0.739085