求解前驱函数

因为发现支持Markdown所以决定把我的新浪博客搬到。

说明

lambda calculus是图灵完备的语言，可以定义自然数，布尔值等等，这种方法称之为Church encoding

例如对自然数的定义如下：

\f.\x. x    =>0
\f.\x. f x  =>1
\f.\x. f f x    =>2

这里的返回值是右结合的，即

\f.\x. f f f f x =>\f.\x.(f(f(f(f x))))

以此类推，这个定义可以这么解释，我们输入两个参数f和x，返回将f作用在x上n次的结果。
接下来可以定义加减乘除运算。
加法再简单不过了，m+n就是将已经作用n次f的x再作用m次f即可。

plus: \m.\n.\f.\x. m f (n f x)
(plus m n)=> \f.\x. f f f...f x （一共 m+n 个f）

乘法同样简单，把作用n次f当作一个过程，这个过程再进行m次，就得到了m*n。

multi: \m.\n.\f.\x. m (n f)

再往下，乘法带入乘法就得到了乘方。

exp: \m.\n. n m

关于减法

一步得到似乎有难度，所以可以先得到一个减1函数pred，即前驱，将pred作用输入的次数即得到减法。
所以我们要找到f和x的具体形式，使得

f f...f x => g ...g y（n个f和n-1个g）

一个很自然的想法

f x => y

f exp => g exp  ;;(exp !=x)

看起来很简单，不过这里有个像if语句一样的条件跳转。

之前说过lambda calculus可以定义bool值。

true ： \x.\y x
false : \x.\y y

true可以理解为两个输入参数中选择第一个，false则是选择第二个。

这样if的定义如下

\f.\x.\y. f x y

if b x y 的语句得到如下结果。

b=true => x 
b=false => y

即true跳转到第一条语句，false跳转到第二条。
其他操作也可以定义：
and 函数，形如and b1 b2，若b1=true => b2， b1=false => false。
所以有

and : \x.\y. x y false

同理

or : \x.\y. x true y   
not : \x. x false true

从上可以发现，如果需要对x的值进行判断，则让x作用在返回值上。
可以想到

(f x) = (x exp) = y 
(f y)=(y exp)

f...f fy=(...((y exp)exp)...exp)=g...g g z  ;;（不妨记为*式）

简单起见，令

x=\x.y  f=\x.x exp

现在我们得到了n-1个exp，接下来想办法把上面的式子翻转过来。

下求解exp
可以得到

(y exp)=(g z)
((g z) exp)=(g(g z))

显然上面的等式是有问题的，每次计算都应该应返回一个函数调用下一个exp，所以相应的做些修改。
即

(y exp)=\f. f (g z)
((y exp) exp)=exp (g z)=\f. f (g(g z))

得到

exp=\x.\f.f (g x),  y=\x. x z

所以*式应为

(...((yexp)exp)...exp)=\f.f g...g g z

多出来的\f.f的部分再简单不过，令f=\x.x即可。
大功告成！整理一下上面得到的结果。

x=\x. y  
f=\x. x exp
exp=\x.\f.f (g x) 
y=\x. x z

最后再化简一下。

x=\x.\y. y z
f=\x.x (\a.\f. f (g a))

有

 (n (\x.\y. y z) (\x.x (\a.\f.f (g a))))=\f. f (g...g z)

所以得到pred函数

\n.\g.\z. (n (\x.x (\a.\f.f (g a))) (\x.\y. y z)) (\x.x)

重新命名一下各变量得到

pred: \n.\f.\x. (n (\x.x (\y.\f.f (g y))) (\x.\y. y z)) (\x. x)

最后

解法并不唯一，可以参考维基百科。