匈牙利算法学习 （名词理解 + 简单说明）

二分图的定义 ：

    二分图是这样一个图，它的顶点可以分类两个集合X和Y，所有的边关联在两个顶点中，恰好一个属于集合Ｘ，另一个属于集合Ｙ。

未盖点  ：设Vi是图G的一个顶点，如果Vi 不与任意一条属于匹配M的边相关联，就称Vi 是一个未盖点。

交错路：设P是图G的一条路，如果P的任意两条相邻的边一定是一条属于M而另一条不属于M，就称P是一条交错路。

可增广路：两个端点都是未盖点的交错路叫做可增广路。

最大匹配： 图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。 

 

完美匹配： 如果所有点都在匹配边上，称这个最大匹配是完美匹配。

 

最小覆盖：在一个二分图上用最少的点（x 或 y 集合的都行），让每条连接两个点集的边都至少和其中一个点关联。根据konig定理：二分图的最小顶点覆盖数等于最大匹配数。

 

最小路径覆盖：用尽量少的不相交简单路径(连着n条边)覆盖有向无环图Ｇ的所有结点，且任何一个顶点有且只有一条路径与之关联；（如果把这些路径中的每条路径从它的起始点走到它的终点，那么恰好可以经过图中的每个顶点一次且仅一次）；解决此类问题可以建立一个二分图模型。把所有顶点i拆成两个：Ｘ结点集中的i和Y结点集中的i',如果有边i->j，则在二分图中引入边i->j'，设二分图最大匹配为m,则结果就是n-m。

 

最大独立集问题：在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边(没有某种关系)．求m最大值．如果图Ｇ满足二分图条件，则可以用二分图匹配来做．最大独立集点数 = N - 最大匹配数

 

伪代码：

bool 寻找从k出发的对应项出的可增广路
{
    while (从邻接表中列举k能关联到顶点j)
    {
        if (j不在增广路上)
        {
            把j加入增广路;
            if (j是未盖点 或者 从j的对应项出发有可增广路)
            {
                修改j的对应项为k;
                则从k的对应项出有可增广路,返回true;
            }
        }
    }
    则从k的对应项出没有可增广路,返回false;
}

void 匈牙利hungary()
{
    for i->1 to n
    {
        if (则从i的对应项出有可增广路)
            匹配数++;
    }
    输出 匹配数;
}

 

二分图最大匹配问题的匈牙利算法：

#include<iostream>
using namespace std;
const int Max = 405;

 

int n, m;                       //  二分图中x和y中点的数目
int link[Max];                  //  link[x]记录当前与y节点相连的x的节点。
bool map[Max][Max], vis[Max];   //  map[i][j]记录连接x和y的边，如果i和j之间有边则为1，否则为0。

 

bool dfs(int u){                //  dfs实现，u表示现在在寻求匹配y的点x。
    for(int i = 1; i <= m; i ++)
        if(!vis[i] && map[u][i]){
            vis[i] = true;
            if(link[i] == -1 || dfs(link[i])){    //  条件：点i还没匹配，或者link[i]找到新的匹配。
                link[i] = u;
                return true;
            }
        }
    return false;
}

 

int MaxMatch(){

    int i,num = 0;

    memset(link, -1, sizeof(link));

    for(i = 1;i <= n; i ++){

        memset(vis, 0, sizeof(vis));

        if(bfs(i)) num++;

    }

    return num;

}

 

 

算法思想：

算法的思路是不停的找增广轨,并增加匹配的个数,增广轨顾名思义是指一条可以使匹配数变多的路径,在匹配问题中,增广轨的表现形式是一条"交错轨",也就是说这条由图的边组成的路径,它的第一条边是目前还没有参与匹配的,第二条边参与了匹配,第三条边没有..最后一条边没有参与匹配,并且始点和终点还没有被选择过.这样交错进行,显然他有奇数条边.那么对于这样一条路径,我们可以将第一条边改为已匹配,第二条边改为未匹配...以此类推.也就是将所有的边进行"反色",容易发现这样修改以后,匹配仍然是合法的,但是匹配数增加了一对.另外,单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.可以证明,当不能再找到增广轨时,就得到了一个最大匹配.这也就是匈牙利算法的思路.