莫比乌斯变换-1-经典形式与狄利克雷卷积

经典形式

设 定义在正整数集合上，如果：

称作是 的和函数^[1]。

此时，无论 是什么，都有如下公式成立：

其中的 是一个数论函数，称作莫比乌斯函数。

观察这两个式子，前者由 求得 ；后者反过来由 求得 。后者应用在求 比 容易的情况下，用和函数反过来求原函数。这种过程一般称作莫比乌斯变换或者莫比乌斯反演。

狄利克雷卷积

经典表示方法虽然直接，但是显得繁琐。最常见的替代表示方案是使用狄利克雷卷积。

设 都是定义在正整数集合上的函数，他们的狄利克雷卷积是一个定义在同样范围内的函数，用 表示，满足：

或者写成：

其中 是正整数。

从定义中显然可以看出 运算满足的交换律：^[2]。也可以看出它满足结合定律 。

下面取一些特殊函数做狄利克雷卷积。

设 在 时为 1，否则为 0。那么 。

设 ，那么 ，是 的和函数。

用狄利克雷卷积，莫比乌斯反演可以这样表达：

如果 ，那么 。

莫比乌斯函数

在上面的反演表达中，如果令 ，那么得到：

这个表达式是对 更直接的描述。如果 满足 ，那么轻松可以证明 ：。所以，证明莫比乌斯反演成立的工作量，也就只有根据 求出 的工作量。

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1. 实际上，有很多种和函数的定义，这里只取这一种。 ↩

2. 这里以定义域、值域分别相同，并且同样的输入得到同样的输出，来表达函数相等。 ↩