背包算法解析和js实现

文/michaelgbw

要了解背包，首先得清楚动态规划：

动态规划算法可分解成从先到后的4个步骤：

• 描述一个最优解的结构；
• 递归地定义最优解的值；
• 以“自底向上”的方式计算最优解的值；
• 从已计算的信息中构建出最优解的路径。

背包问题就是一个固定容量的背包，然后有一些商品，本身有两个属性，一个体积和价值，人总是贪婪的，总想获得最多的价值。

其实背包问题有好多版本：

• 01背包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一个容量为V的背包。每种物品均只有一件,第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
• 完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
• 多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

比较三个题目，会发现不同点在于每种背包的数量，01背包是每种只有一件，完全背包是每种无限件，而多重背包是每种有限件。

此文值研究0-1背包问题，也就是最长见的背包问题。

01背包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一个容量为V的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} （这是最根本的算法）

代码

由于最近在面试，PHP，js都要会，所以这次的代码我用js来写~

//动态规划算法
 //数组中去除重复的算法
  Array.prototype.unique = function(){
    this.sort();
    var re=[this[0]];
    for(var i = 1; i < this.length; i++)
    {
      if( this[i] !== re[re.length-1])
      {
        re.push(this[i]);
      }
    }
    return re;
}
    function max(a,b){
      return (a > b) ? a: b;
    }
    function dynamicPack(capacity, size, value){
      var arr=new Array(); 
      var n=size.length;//item 的数量
      var k = new Array();
       //手动构建二维array
      for(var i=0;i<= capacity+1;i++){
        k[i]=[];
      }
      for(var i=0;i<=n;i++){
        for(var w=0;w <= capacity;w++){
          if(i==0 || w==0){
            k[i][w]=0;//表示当物体为前面i个,背包容量为w的最大价值
          } 
          else if(size[i-1] <= w){//大小为size[i-1]的物品可以放入背包时
            k[i][w]=max(value[i-1] +k[i-1][w-size[i-1]] , k[i-1][w]);
            if(k[i][w] !=k[i-1][w])
              arr.push(value[i-1]);
          }
          else{//大小为size[i-1]的物品不能放入背包时
            k[i][w]=k[i-1][w];
          }
           document.write(k[i][w]);
           document.write("...");
        }
          document.write("
");
      }
      var unarr=arr.unique();
      //console.log(unarr);
      var tem=0;
      var re=[];
      //k[n][capacity]是总价
      for(var i in unarr){
        if(tem <= k[n][capacity]){
          re.push(unarr[i]);
          tem+= parseInt(unarr[i]);
        }
      }
      //return re;//选取的商品价值
      return k[n][capacity];//最大价值
    }
    var value = [6,5,10,11,13];//价值
    var size = [3,4,7,8,9];//尺寸
    var capacity = 16;//背包容量
    var result=dynamicPack(capacity,size,value);
    console.log(result);

为了方便大家查看内部究竟是怎样运作的，这里特地将每次的动态数组都document.write()出来了

可以看到基本的算法就是：两层循环，第一次的for是商品的个数，第二次for是背包的容量。然后k数组中的每次的数据k[i]的key其实是商品的尺寸，value是商品的价值，每次遇到新的商品就和之前的总价比较，看”有没有必要“放入。之后一旦接受了新的商品，就暂存入数组，之后倒叙序便可以获取到相应的商品值了。

这既是基本算法了，return我提供了两个一个是最大价，一个是最大价的每个商品的价值。这算是真正明白点了吧~