数学分析理论基础7：数列极限存在的条件

数列极限存在的条件

单调数列

定义：若数列的各项满足关系式,则称数列为递增(递减)数列,递增数列和递减数列统称为单调数列

单调有界原理

定理：实数系中,有界的单调数列必有极限

证明：

例：设,,证明：收敛

证：

例：证明数列,,,,收敛,并求其极限

证：

例：设S为有界数集,证明：若,则存在严格递增数列,使得

证：

例：证明极限存在

证：

例：任何数列都存在单调子列

证：

致密性定理

定理：任何有界数列必有收敛子列

证明：

Cauchy收敛准则

准则：数列收敛使得时有

证明：

注：

1.Cauchy收敛准则的条件称为Cauchy条件

2.Cauchy收敛准则把定义中的关系换成了的关系,无需借助数列以外的数a,只需根据数列本身的特征即可鉴别其敛散性(收发性)

例：证明：任一无限十进制小数的n位不足近似所组成的数列满足Cauchy条件,其中为中的一个数,

证：