线性代数（一）乱七八糟

1引言

定义是一个线性变换，是变换函数，为维空间的一个向量。这个式子的本质就是一个函数(线性变换)，把映射到另一个向量空间，比如维的空间。这就类似与高一时学习的函数把映射到。之前学习的时候我一直分不清和的地位，不知道哪个是函数哪个是未知数。
这种变换有什么意义呢？如果对一个2维的向量进行同纬度线性变换，这时注意矩阵的纬度为它的直接效果是这样的。

对称变换

可以看出来不同的标准矩阵

有不同的对称效果。于是我想到图片的编辑不就是水平翻转和垂直翻转吗？哇，矩阵

好厉害。
除了有相同纬度的变换之外，还有不同纬度的变换。如让

从2维升到3维，从2维降到1维(如把点映射到坐标轴)。此外还有很多在欧式空间的变换，不过在很高纬度之后就很难想象了。不过这种变换非常有用。比如把1000维的one-hot编码向量进行线性变换

这样就可以把一些高维向量进行降纬，然后就可以进行一些相似度(余弦相似度和欧式距离等)判断了。这样就是一个应用问题，把不同的事物进行抽象，然后获得高维表示，通过线性变换进行降纬获得低纬表示，进而进行聚类等等。

2 核心问题

说到这里还比较好想，但是我有另外一个问题，在没有看书之前就有考虑，但是从来没有人告诉我它的意义或者本质。
这个问题就是，这种线性变换是唯一的吗？唯一吗？另外一个问题，这种在函数下的变换，和是一一对应的吗？或者说，对于每个维空间的向量是否都只有一个维的向量通过线性变换生成。
刚好我在1.9节找到了这个问题“存在与唯一性问题”。
首先定义两个概念，
若空间中的任一都至少有一个空间中的与之对应，我们称之为满射。
若空间中的任一都只有一个空间中的与之对应，我们称之为单射。
现在的问题变成是否有解问题？和解是否唯一问题？

3 利用方程组求解

定理11 设为线性变换，则是一对一当且仅当方程有平凡解。

简证：因是线性的，，若是一对一的，方程至多有一个解。若不是一对一的，则中某个是至少中两个相异向量，比如说和的像，即,,于是因是线性的。向量不是零，因。因此方程有多于一个解()。
这个定理说明，如果要想是单射，只能是齐次方程组只有平凡解，而其次方程组仅有平凡解等价于矩阵没有自由变量。

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定理12 设为线性变换，设为的标准矩阵，则
a.把映射到，当且仅当的列生成
b.是一对一的，当且仅当的列线性无关。

简证：
a.的列生成当且仅当方程对每个都相容，换句话说，当且仅当对每个，方程至少有一个解，这就是说，将映射到上。
b.由定理11的证明已知，单射等价于没有自由变量。没有自由变量等价于各列线性无关。

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定理4设是矩阵，则下列命题是等价的。
a.对于中的每个，方程有解。
b.中的每个都是的列的一个线性组合。
c.的各列生成。
d.在每一行都有一个主元位置。
定理4说明了，非齐次方程的解与变换之间的关系。要想由生成，等价于对于每个，非齐次方程有解，等价于生成矩阵的每一行都有一个主元位置，等价于的各列生成。

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这里存在一个问题，是否能生成整个空间呢？比如说三维空间。任意一个能否生成3维空间呢？答案是不能！
因为仅有2列，所以的各列不能生成。如下图，在低维升高维的时候，不一定可以覆盖整个高维空间。这一点需要注意。

2维转化为3维