递归--汉诺塔(Hanoi Tower)

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        汉诺塔问题是来源于印度传说中的一个问题，这个传说是法国数学家爱德华·卢卡斯发明并编写的(维基百科/百度百科)。

        汉诺塔问题的传说是这么描述的：大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。问题的描述非常清楚，理解不了在某宝搜索汉诺塔，有各种造型的汉诺塔玩具，也就理解了。

       

一种样式的汉诺塔玩具

        这个样子汉诺塔问题就从一个抽象的问题成为了具体可见的问题，只要求问题的解就好。汉诺塔问题怎么考虑呢，我们这么来考虑这个问题。

        我现在手头有三根柱子x、y、z，然后有三个圆盘a、b、c，为什么是三个，因为三个我还能操作，如果是传说中的64个，我要是能转移完，那我就是传说了。总之，我手上这三个圆盘是按照大小排列的，也就是c最小，在最上，a最大，在最下，现在三个圆盘放在x柱子上，我的目的是将圆盘转移到z柱子上。

        首先，我将c从x转移到z：c -> z. 将b转移到y：b -> y.  现在圆盘的状态是：x：a；y：b；z：c。我要将圆盘最后转移到z柱子上，那a应该是在最下面，所以，我将c转移到y柱子，也就是b上面。这样z柱子就空下来了，我将a转移到z柱子上。现在圆盘的状态：x；y：b\c；z：a。那么我已经达成了从x柱子转移a圆盘到z圆盘，最大的盘子已经转移过去了。现在的问题就成了从y柱子上将两个圆盘转移到z柱子上面，问题的规模变小了，成立两个盘子的问题。两个圆盘的问题好解决，我将c转移到x柱子，然后将b放到z柱子的a圆盘上，将c转到z柱子的b圆盘上，问题就解决了。

        我刚刚是在三个圆盘的基础上解决这个问题，在解决过程中，我最早要达到的目的是将a圆盘，也就是最大的圆盘先转移到目标柱子，转移之后问题的规模就小了一个圆盘，成了两个圆盘的汉诺塔问题。那么当我有四个圆盘的时候，我最先应该达成的目标不就是先将最大的那个圆盘转移到目标柱子上么，那么问题的规模就减小到了三个圆盘的问题。那当我有64个圆盘的时候，我需要做的是将最下面的圆盘转移，然后问题就成了63个圆盘的问题，63个圆盘的问题再继续精简......问题就转化成了一个递归问题，从递归的思路来解决这个问题就简单许多了。

        汉诺塔可以用数组或者是数据结构栈进行实现。

void hanoi( int n, stackx, stacky, stackz ) {

        if ( n==0) return;

        hanoi( n-1, x, z, y);        //将n-1 个圆盘从x柱子转移到y柱子

        z.push(x.pop());            //将x柱子最后的一个圆盘转移到z柱子

        hanoi( n-1, y, z, x);        //将n-1 个圆盘从y柱子转移到x柱子，还原操作，将圆盘位置还原，便于递归操作

}

        算法的时间复杂度经过统计会发现是2^n-1，非常高的复杂度，所以，如果有64个圆盘，让我一步一步的转移，如果我能转移完，那我会成为传奇，毕竟2^64-1的操作步数，我就算1s操作一步，我大概也能活到几百亿年的样子，当然，我可能并不介意活这么久。

        我用了几分钟写的一道算法，我用了几个简单的步骤就做出的算法，它的执行时间却几乎能够让地球体会到破灭的感觉。嗬，有限步的程序==无限步的运算。