整数中1出现的次数

求出 1~13 的整数中1出现的次数,并算出 100~1300 的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下 1~13 中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

思路一：求每一个数中含有的“1”的个数，累加。

function NumberOf1Between1AndN_Solution(n) {
    if(typeof n !== 'number') return false
    let count = 0
    for(let i = 1; i <= n; i++) {
      let strNum = i.toString()
      for(let j = 0; j < strNum.length; j++) {
        if(strNum.charAt(j) === '1') {
          count++
        }
      }
    }
    return count
  }

思路二：
一个更好的办法是利用数学公式直接计算出最终的结果，该方法是依次求出数字 X 在个位、十位、百位等等出现的次数，再相加得到最终结果。博客地址

• 从 1 至 10，在它们的个位数中，任意的 X 都出现了 1 次。
• 从 1 至 100，在它们的十位数中，任意的 X 都出现了 10 次。
• 从 1 至 1000，在它们的千位数中，任意的 X 都出现了 100 次。

依此类推，从 1 至 10^i，在它们的左数第二位（右数第 i 位）中，任意的 X 都出现了 10^(i−1) 次。

接下来以 n=2593,X=5 为例来解释如何得到数学公式。从 1 至 2593 中，数字 5 总计出现了 813 次，其中有 259 次出现在个位，260 次出现在十位，294 次出现在百位，0 次出现在千位。

现在依次分析这些数据，首先是个位。从 1 至 2590 中，包含了 259 个 10，因此任意的 X 都出现了 259 次。最后剩余的三个数 2591, 2592 和 2593，因为它们最大的个位数字 3 < X，因此不会包含任何 5。

然后是十位。从 1 至 2500 中，包含了 25 个 100，因此任意的 X 都出现了 25×10=250 次。剩下的数字是从 2501 至 2593，它们最大的十位数字 9 > X，因此会包含全部 10 个 5。最后总计 250 + 10 = 260。

接下来是百位。从 1 至 2000 中，包含了 2 个 1000，因此任意的 X 都出现了 2×100=200 次。剩下的数字是从 2001 至 2593，它们最大的百位数字 5 == X，这时情况就略微复杂，它们的百位肯定是包含 5 的，但不会包含全部 100 个。如果把百位是 5 的数字列出来，是从 2500 至 2593，数字的个数与百位和十位数字相关，是 93+1 = 94。最后总计 200 + 94 = 294。

最后是千位。现在已经没有更高位，因此直接看最大的千位数字 2 < X，所以不会包含任何 5。到此为止，已经计算出全部数字 5 的出现次数。

总结一下以上的算法，可以看到，当计算右数第 i 位包含的 X 的个数时：

• 取第 i 位左边（高位）的数字，乘以 10i−1，得到基础值 a。
• 取第 i 位数字，计算修正值：
  • 如果大于 X，则结果为 a+10^(i−1)。
  • 如果小于 X，则结果为 a。
  • 如果等 X，则取第 i 位右边（低位）数字，设为 b，最后结果为 a+b+1。

// 计算数字 X 在 1-n 中出现的次数。
int count(int n, int x) {
    int cnt = 0, k;
    for (int i = 1;k = n / i;i *= 10) {
        // k / 10 为高位的数字。
        cnt += (k / 10) * i;
        // 当前位的数字。
        int cur = k % 10;
        if (cur > x) {
            cnt += i;
        } else if (cur == x) {
            // n - k * i 为低位的数字。
            cnt += n - k * i + 1;
        }
    }
    return cnt;
}

参考地址

http://www.cnblogs.com/cyjb/p/digitOccurrenceInRegion.html