在上一篇文章我们推导出了black-scholes方程,然后这是一个很复杂的公式,而这一次我们要去解一下一些关于看涨期权的实际的问题
首先我们要把解的原理说清楚,当我们去解欧式看涨期权,我们实际上问的一个问题是首先它的看涨期权随着时间演化的那个动力学方程(black-scholes方程),并且我们的边界条件也是确定的,学过数学的我们知道,有数学加边界条件我们就能够得到现在的值,所以我们现在整体的思想也是这样,我们需要两种原料,既要有这样发动机是如何运作的,然后也要有现在是什么情况推测出发动机之后是什么情况.
推理过程:
1:看涨期权(call option):u(tx)
2:x:Stock Price
所以在black-scholes方程就可以得到以下的情况:
这时候的边界条件是看涨期权的收益U,首先大家来思考这样一个问题:
看涨期权在他要行权的前一秒他的价格应该是多少,就是你的收益价格,因为理性人会在这个时候把他换算成收益,但是这时候如果别人硬是要在此刻买你这张看涨期权你只会以你能赚到的收益去卖掉,所以这时候看涨期权的边界价格就应该是刚才所说的收益曲线,所以他的看涨期权在行权的哪一个时刻T的时候,他的价格等于
为了解这个实在是太复杂了,我们要引入一个扩散方程,然后我们再把这个U拆成几个函数的乘积,然后其中的某一个函数满足扩散方程,这些纯粹是数学技巧,没什么好说的,
首先我们有一个函数y,y是有两个变量s和v,他是满足一个扩散方程:
这是一个标准的扩散方程,并且s和v还是两个函数,然后我们定义y0和v:
而上边这个扩散方程实在是过于简单求解,我们这里直接给出结果:
而这个解释常规的,现在我们要做一个很恼人的过程,而做这个恼人的过程有助于化简这样的微分方程,因为这是一个多元微分,所以我们要反复化简.
我们令u(t,x)=f(t)y(s,x),而s是关于t的函数,v是关于t,x的函数:
现在我们是想把这个带进去化简出更简单的关于y或者是s和v的微分方程,然后划到足够简单,然后再带回去(这个能够解出来),
因为刚才的black-scholes方程是用到了v,s的偏导数,我们便依次为推导:
而详细的替换过程实在是太过于复杂,所以只能给出推导的参考文件了:
参考文献:
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[ 3 ] 宋 威编 1 金融数学模型 1 华南理工大学出版社, 19991