第七次作业

此次计算物理作业为混沌效应的续篇

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一，物理摆的吸引子

物理摆吸引子绘图源码GitHub链接

相比课本中的图，上图上半部分中多了一部分和下半部分对此的相图，看了一下代码，没看出来有啥不合适，如果老师能校正一下， 麻烦写在评论区 。。。

不加theta的角度限制时，从图上是看不出来有啥规律的。

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之后观察周期加倍到系统混沌的行为

重复课本例子，将Fd =1.35、1.44和1.465下的theta-time图绘出：

由图可见周期关系：1:2:4

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The Logistic Map

迭代公式：

由迭代公式，我们可以发现，不用数值方法时，此迭代式是一个一元二次方程，其通解  可表示为：

对于0解，其与 μ 的值无关，故之后不考虑，但我们也应发现，对于任意一个实数 μ ，除0以外应只有一解，由之后绘图发现用数值方法迭代计算时，发现结果并非如此

起始 x值直接用了课本值

由上图容易发现，对于 μ =2.0 图中仅一解0.5，易知其为方程另一个解；

而 μ =3.1时，方程的迭代最后出现了两个稳定值，约为0.75和0.55，而方程的另一个理论解应为0.677；

在μ =3.8时，方程迭代没有确定的稳定点出现，理论解应为0.737。

改变初始值再迭代绘图，此次将初始迭代的x值设为其理论值（差别只在小数点后有效位）：

由图可见，初始值接近理论值时，迭代的前面一部分值保持在理论值附近，但当迭代次数n大了以后，迭代值开始发散，最后又稳定在上次绘图的稳定点附近了。

用图像解法时，易知原方程的解为两条曲线的交点横坐标：

由图易知，若初始值x在（0,1）之间，则迭代时会收敛到理论解，而若x初始值不在此区间则迭代会发散，不会收敛到理论解。

易看出，迭代时会发生震荡，不会收敛，进一步分析μ =3.1的图像，则有：

发现稳定点的存在，约为0.75和0.55，在这两个数值相互迭代会出现0.75→0.55→0.75→0.55→0.75→0.55的循环迭代，达到了稳定，就算迭代过程中x达到了理论值，也会因为不稳定而被跳过，由此可见用迭代法解方程的数值解法时，并不是通用的，应该研究一下迭代过程的可靠性。

由此我们也能得出μ =3.8 时，图像是因为在理论解附近无法稳定，且其稳定的值大概在一个比较大的区间内，因此出现了迭代结果的波动。

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Lorenz Model

Lorenz model的GitHub源码

按照迭代式，绘图有：

相空间绘图：

r=20时，500000步迭代：

r=25时，500000步迭代：

r=30时，500000步迭代：

r=25时，1000000步迭代，x-z相图：

r=25时，1000000步迭代，y-z相图：

说实话，我已经看不懂了。。。

尝试画x=0和y=0时z-y和z-x相图，500000步迭代的程序判断语句有点多，电脑运行到崩溃好几次，遂改换步长，从dt=0.0001改换为dt=0.01，以求达到出现足够多x=0时的z-y相图点时的总时间t，因为运行程序时发现，要出现要求点则总时间t必须达到几十秒甚至几百秒

迭代总时间为100秒时的z-y（x=0）相图：

迭代总时间为25000秒时的z-y（x=0）相图：

总结

通过对周期加倍和Lorenz模型的思考和绘图，我对于混沌效应的理解更加 混沌 了。我们能看出，限制x=0（y=0）后，z-y（z-x）相图开始变得清晰简单起来，但是受限于计算机计算能力和我的编程能力，不好得到较长时间的运行结果，所以只是推断其之后的图像亦延续了这个趋势。通过这些绘图对这两个情况下的混沌效应有了一定了解，以及在某些情况下，对于要通过迭代的方法得到最终结果的话，普通欧拉方法很可能已经不适用了，应该具体考察一下以后再决定迭代的具体方式。