映射
定义
给定非空集合A,B,从A到B的映射是指一个对应法则,通过该法则,对于A中任一元a,有B中唯一的一个元b与之对应
记作或,其中A称为映射f的定义域,B称为值域,b称为a在映射f下的像,a称为b在映射f下的原像,记作或
映射三要素
定义域,值域,对应法则f
映射相等
设f,g是从集合A到集合B的两个映射,若,有,则称这两个映射相等,记作
集合上的映射
若映射f的定义域A和值域B相同,即,则称映射f是定义在集合A上的映射
像的唯一性(良性定义)
对于任意,存在唯一与之对应,在定义映射时,若元a有不同的表示形式,则必须与a的表示形式没有关系
例
令,定义对应法则如下：
则f不是从A到B的映射
显然矛盾
特殊映射
单射：若,时有,则称f是单射
满射：若,使,则称f是满射
双射：若f既是单射又是满射,则称f为一一映射,也称双射
限制：给定映射,,则f诱导一个映射,,,称映射为映射f在集合C上的限制,记作
扩张(开拓)：给定映射,,设,若,有,则称映射f为在集合A上的扩张
(注：限制是唯一的,扩张可能不是唯一的)
注：一个给定映射,仅存在一个对于X的给定子集A的限制,一个映射,到一个包含A的集合X上的开拓通常是很多的
例：设y为Y中任一点,定义映射
为给定映射在X上的一个开拓
注：上述给定映射的定义为组合映射构造的一个特殊情况
合成：给定映射,,则由f和g可诱导出一个映射,,称h为映射g与f的合成,记作
恒等映射：给定映射,若有,则称f为恒等映射,记作
(注：恒等映射也称为单位映射,)
包含函数：,,,记作
定理
定理：给定三个映射,,,则
证明：
定理：表示,的合成
注：满射函数的合成是满射函数,单射函数的合成是单射函数
定理：表示,的合成
若是满射,则g也是满射
若是单射,则f也是单射
证明：
像与原像
给定映射
像：,令,称为S在映射f下的像
原像：令,称为T在映射f下的原像
注：整个定义域A在f下的像称为f的像,并表示为
定理：给定映射,则
(1),有
(2),有,当f为满射时,等号成立
定理：对映射的定义域X的任意两个子集A与B
例：
令表示唯一的映射
定理：对于映射的值域Y的任意两个子集A与B
注：逆像的特性较像的特性好,因而逆像的概念使用的多
判断单射、满射和双射
定理：给定映射,则
(1)f是单射使
(2)f是满射使
(3)f是双射使,且唯一,记作
(注：g称为映射f的逆映射,当A与B之间存在一个双射时,这两个集合含有一样多的元,即|A|=|B|,称为他们为等势的)
证明：
设为n元集合,令,则,可如下表示
其中是元的一个置换,这个映射表示
函数族
设F为X的给定的子集族,假设F复盖X,即X等于在F中的集的并,且假设,有,可得以族F的元素为函数标号的函数族
,与在上相等,则称族可组合,即
若函数族可组合,则可唯一确定一函数,若,函数f称为函数族的组合函数
序列
一个从自然数集N到给定集X的函数称为在X中(点的)序列,,像称为序列f的第n项,序列f写成
注：若X为实数集R,则称f为实数列,若X为整数集Z,则称f为整数列
特征函数
给定集X,,定义函数
称为在X中的子集A的特征函数
带标集族
令表示给定集X的所有子集的集,对任一函数,,像为X的一个子集,函数f可写成
称为以集M作为标号的带标集族
若M为自然数集N,则称f为集序列