KMP

基本思想

KMP 基本思想：匹配失败时，设法利用这个已知信息，不要把"搜索位置"移回已经比较过的位置，继续把它向后移，移到第一个可能匹配的位置。

比如：
母串：ABCDABC......
子串：ABCDABD......
当第 7 位 C 与 D 不匹配时，根据已知信息将子串移动到有可能可以匹配的位置，移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值。

搜索词	A	B	C	D	A	B	D
部分匹配值	0	0	0	0	1	2	0

• 已匹配的字符数 = 6
• 对应的部分匹配值 = 2
• 移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值 = 4

部分匹配值

"部分匹配值"就是"前缀"和"后缀"的最长的共有元素的长度。

• "A" 的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为 0；
• "AB" 的前缀为 [A]，后缀为 [B]，共有元素的长度为 0；
• "ABC" 的前缀为 [A, AB]，后缀为 [BC, C]，共有元素的长度 0；
• "ABCD" 的前缀为 [A, AB, ABC]，后缀为 [BCD, CD, D]，共有元素的长度为 0；
• "ABCDA" 的前缀为 [A, AB, ABC, ABCD]，后缀为 [BCDA, CDA, DA, A]，共有元素为 "A"，长度为 1；
• "ABCDAB" 的前缀为 [A, AB, ABC, ABCD, ABCDA]，后缀为 [BCDAB, CDAB, DAB, AB, B]，共有元素为 "AB"，长度为 2；
• "ABCDABD" 的前缀为 [A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB]，后缀为 [BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D]，共有元素的长度为 0。

部分匹配实质

有时候，字符串头部和尾部会有重复。比如，"ABCDAB" 之中有两个 "AB"，那么它的"部分匹配值"就是 2（"AB" 的长度）。搜索词移动的时候，第一个 "AB" 向后移动 4 位（字符串长度 - 部分匹配值），就可以来到第二个 "AB" 的位置。

部分匹配值的选取实质上是基于贪心思想

移动后的母串与子串的匹配部分（"ABCDAB"）的关系必须保证：母串的后缀等于子串的前缀，且尽量长。

比如，母串 （"ABCDABC"） 与子串 （"ABCDABD"） 在第 7 位不匹配时，要把子串移到第一个可能匹配的位置。在已匹配的 "ABCDAB" 中，第一个可能匹配的位置便是第 5 位 "A" 。

第一个可能匹配的位置实质上就是匹配部分（子串前缀 "ABCDAB"）"前缀"和"后缀"的最长的共有元素的首部。推导如下：

移动后的母串与子串的关系必须保证：母串的后缀 X 等于子串的前缀 Y，且尽量长 --- (1)
既然属于匹配部分，那么母串的该后缀 X 也就等于子串的后缀 Z --- (2)
由 (1) (2) 联合可得，子串的前缀 Y 也就等于子串的后缀 Z
所以，匹配本身与母串无关，只与子串有关

KMP 实现

设 P[j] 为子串匹配部分 B[1 ... j] 的部分匹配值，则 P[j] 应该是所有满足 B[0 ... P[j] - 1] = B[j - P[j] + 1 ... j] 的最大值。由上面的推导可知，P[j] 与母串 A 无关，可单纯从子串 B 推导而来。

那么，如何快速地预处理 P 数组呢？我们可以通过 P[0]，P[1]，…，P[j - 1] 的值来获得 P[j] 的值。
对于 B = "ababacb"，假如我们已经求出了 P[0]，P[1]，P[2] 和 P[3]，看看我们应该怎么求出 P[4] 和 P[5]

    0 1 2 3 4 5 6
B = a b a b a c b
P = 0 0 1 2 ? ?

P[3] = 2，那么 P[4] 显然等于 P[3] + 1，因为由 P[3] 可以知道，B[0, 1] 已经和 B[2, 3] 相等了，现在又有 B[2] = B[4]，所以 P[4] 可以由 P[3] 后面加一个字符得到。

    0 1 2 3 4 5 6
B = a b a b a c b
P = 0 0 1 2 3 ?

B[ P[4] + 1 ] != B[5] 。那么，我们要考虑“退一步”了。我们考虑 P[5] 是否有可能由 P[4] 的情况所包含的子串得到，即是否 P[5] = P[ P[4] ] + 1。P[4] = 3 是因为 B[0 ... 2] 和 B[2 ... 4] 都是 "aba"；而 P[2] = 1 则告诉我们，B[0]、B[2] 和 B[4] 都是 "a" 。既然 P[5] 不能由 P[4] 得到，或许可以由 P[2] 得到（如果 B[1] 恰好和 B[5] 相等的话，P[5] 就等于 P[2] + 1 了）。显然，P[5] 也不能通过 P[2] 得到，因为 B[1] != B[5] 。事实上，这样一直推到 P[0] 也不行，最后，我们得到，P[5] = 0 。

• 如果匹配成功，P[j] = P[j - 1] + 1
• 如果匹配失败，j 倒退到 P[j - 1]，再继续匹配，直到 j = 0 为止

// getNext P[i]: 满足 B[0 ... P[i] - 1] = B[i - P[i] + 1 ... i] 的最大值（即匹配值），P[i] = 0 时，表示匹配值为 0，不能再倒退
let j = 0, P = [];
P[0] = 0;
for (let i = 1; i < B.length; i ++) {
  while (j && B[j] !== B[i]) j = P[j - 1];
  if (B[i] === B[j]) j ++;
  P[i] = j;
}

// j 表示已经匹配的长度，即 A[i - j + 1 ... i] = B[0 ... j - 1]，如果匹配失败，倒退到 P[j - 1]
j = 0;
for (let i = 0; i < A.length; i ++) {
  while (j && A[i] !== B[j]) j = P[j - 1];
  if (A[i] === B[j]) j ++;
  if (j === B.length) {
    console.log('Pattern occurs with shift ', i - B.length + 1);
    j = P[j - 1];
  }
}

时间复杂度

KMP 的时间复杂度分析可谓摊还分析的典型。我们从上述程序的 j 值入手。每一次执行 while 循环都会使 j 减小（但不能减成负的），而另外的改变 j 值的地方只有一行。每次执行了这一行，j 都只能加1；因此，整个过程中 j 最多加了 n 个 1。于是，j 最多只有 n 次减小的机会（j 值减小的次数当然不能超过 n，因为 j 永远是非负整数）。这告诉我们，while 循环总共最多执行了 n 次。按照摊还分析的说法，平摊到每次 for 循环中后，一次 for 循环的复杂度为 O(1) 。整个过程显然是 O(n) 的。这样的分析对于后面 P 数组预处理的过程同样有效，同样可以得到预处理过程的复杂度为 O(m) 。