第十一次作业-木星对地球运动的影响以及土卫七的混沌运动

谭善 2014301020106

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1.引言

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万物皆有相互作用，在太阳系中，除了太阳对地球有作用之外，其他星体地球也应有作用。比如说太阳系中最大的行星木星。

土卫七是1848年由美国天文学家邦德（G. Bond）和英国的拉塞尔（W. Lassell）各自独立发现，距土星1482000公里，看起来土卫七像是一颗大星体的碎片，表面有如海绵。它是目前所发现太阳系中最大的一颗非球形天体，也是太阳系中已知星体中唯一一个自转会混沌的星体，它是土星已知卫星中距土星第十六近的一颗。

Question 4.19

Study the behavior of our model for Hyperion for dofferent initial conditions. Estimate the Lyapunov exponent from calculations of \Delta \theta, such as those shown in Figure 4.19. Examine how this exponent varies as a function of the eccentricity of the orbit.

Question 4.20

Our results for the divergence of the two trajectories \theta1(t) and \theta2(t) in the chaotic regime, shown on the right in Figure 4.19,are complicated by the way we dealt with the angle \theta. In Figure 4.19 we followed the practice employed in Chapter3 and restricted \theta to the range -\pi to +\pi, since angles outside this range are equivalent to angles within it. However, when during the course of a calculation the angle passes out of this range and is then "reset" (by adding or substracting 2\pi), this shows up in the results for \Delta \theta as a discontinuous (and distracting) jump. Repeat the calculation of \Delta \theta as in Figure 4.19, but do not restrict the value of \theta. This should remove the large (\Delta \theta~2\pi) jumps in \Delta \theta in Figure 4.19, but the smaller and more frequent dips will remain. What is the origin of these dips?

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2. 原理背景介绍

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（1）木星对地球引力的x分量可以被写成如下形式：

在固定太阳的情况下，地球在x方向的加速度为：

其中我们用到了一个关键的式子：

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（2）土卫七的轴线与x轴之间的角度满足下面的关系：

这个式子是我们解决这个问题的关键。

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3. 主要内容及分析

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• 木星对地球轨道的影响及三体运动

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（1） 由于太阳的质量远大于地球和木星的质量，我们先假定太阳固定在坐标原点不动，分别运行出了当木星质量是自身实际质量的1倍，10倍，100倍以及1000倍时的地球轨迹。

地球轨道受木星的影响

• 从前面三幅图中可以看出，这几种情况下地球的轨道几乎不受木星的影响，然而当木星质量与太阳在同一个数量级时，地球的轨道与原来相比发生明显的偏移。

（2）其实我们可以加长一下运行时间，得到长程下来地球的轨迹。

地球轨道受木星的影响

• 我们非常惊奇地发现，地球的轨道几乎难以预测，其实这是一个典型的混沌现象。

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（3）实际上，在木星质量达到太阳的数量级时太阳明显不可能固定不动，我们索性让太阳、木星、地球的质量相等，它们组成一个三星系统。

三星运动

• 上图表明，三星系统是一个相当混乱的系统。

（4）为了进一步说明三体运动是混沌的，我们特意绘制了下面两组图，其实，它们所用的条件是一样的，只是我们在设计程序时，它们每运行一步的时间相差十倍。

三星运动

三星运动

• 如果是在有规律的系统中，只要我们每步的时间足够小，那么轨迹的总体趋势应该是一样的，然而，我们的结果表明，仅仅是这样一个小的变化，天体的运行轨道就有了天壤之别，这有力地说明了三体系统的不稳定性。

（5）另外一个有趣的现象我们可以从第二组图中看到，地球和太阳最终纠缠在一起有规律地运动，其实这个可以从下面的两体运动中得到说明。

三星运动

• 上图表示的正是两体运动的轨迹，这样的运动轨迹是由于两个星体未能满足绕质心运动时角速度必须相等。

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• 土卫七的混沌运动

习题 4.19

我们将土卫七之于土星的运动轨道看成地球之于太阳的运动轨道来简化我们的问题。
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（1）土卫七在其绕土星为圆和椭圆轨道时，角度与时间以及角速度与时间之间的关系。

土卫七角度与时间的关系

土卫七角速度与时间的关系

• 上图已经告诉我们土卫七中心轴的摆动在土卫七绕土星的轨道是椭圆时是混沌轨道。

（２）使用我们在讨论混沌运动时常用的手段，考虑它的相空间。

相空间

• 第一幅图表示的是圆轨道时的相空间，第二幅图表示的是椭圆轨道使得相空间，很明显，椭圆轨道时，相空间比较杂乱但又有一定的规律。

（3）考虑问题4.19， 我们改变土卫七绕土星轨道的距离，分别绘出此时圆轨道与椭圆轨道时的角速度与时间的关系。

角速度与时间的关系

• 与（1）中的情况比较发现，这里的趋势是完全一样的，只是当我们增加土卫七与土星距离时，土卫七中心轴的摆动幅度有所下降，轨道周期变长了。

（4）再次改变初始条件，让上面两种情况的离心率都变大，我们会发现混乱程度加大。

增大离心率

如果我们给土卫七一个足够大的速度，我们得到下图。

逃离土星

• 我们会发现最终角速度不再发生变化，其实这是由于土卫七逃离了土星，不再受土星的影响。从增大离心率那个图也可以看出，之所以有角速度的涨落，这是由于椭圆轨道上到土星距离远近所致。

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（5）我们现在考虑角度之间的差值。

角度差值

为了检验 Lyapunov 指数与离心率的关系我们绘制了如下图片。前三幅图显示的是离心率依次减小的变化，后三幅图相反。

离心率与 Lyaunov 指数

• 从图中大致可以得出随着轨道离心率的增大，Lyapunov 指数增大，换句话说，随着轨道离心率的增加，混乱度增大。

习题4.20

上面的题目我们考虑了角度差的范围在0~2\pi之间，现在我们去掉这个要求。

去除角度范围要求

• 很容易得到了上图，之所以还有一些跌落的谷，是因为当角度大的一方的角速度从正变为负的时候，角度差会减小所致。

4. 参考致谢

• Computational Physics(Second Edition), Nicholas J. Giordano, Hisao Nakanishi.

• Upperclassman-Wu Yuqiao