連續自然數之和的秘密（1）

《編》書2.21題。

4 + 5 = 9

2 + 3 + 4 = 9

有些數比如 4 和 8 不能分拆寫成連續自然數的和。這裡面有什麼規律呢？如果用程序的思路來寫，顯然可以使用蠻力窮舉可以求解。

這裡面有兩個信息：“連續” 和 “求和”。

我們先看最簡單情況，兩個連續自然數相加。其和必為奇數，故偶數必不可以寫成兩個連續自然數相加。而所有的奇數（2n+1）都可以寫成兩個連續自然數相加，有且只有n, n+1這兩個數才滿足。

我們由此想到，要將一個數寫成m個連續自然數之和，這些數只能聚集在floor(1/m)處，並在該處左右各取數字，來彌補偏差。

符合要求的三個連續自然數必聚於三分處，軟件：Edraw Max 7.9

而一個數 x 最多可以寫成多少個連續自然數之和呢？只能從1開始取。我們有了1+...+m = x這個熟悉的式子。所以知道m最多是floor((sqrt(8x+1)-1)/2)。

而且我們還知道，如果一個數能寫成奇數個（假設為m）連續自然數相加的話，那該數必被m整除，即..., n-2, n-1, n, n+1, n+2, ...之和為 m*n，易知x % m = 0。

那偶數（m>2）的情況呢？

同理，n, n+1, n+2, ... 之和為m*n+ m*(m-1)/2，則x % m = m/2。推導如下：

    x % m

= (m*n + m²/2 - m/2) % m

= (m²/2) % m - (m/2) % m

= (m * (m/2)) % m - (m/2) % m

= m/2 % m

= m/2

至此，我們可以用o(1)的方法驗證一個自然數是否可以寫成任意m個連續自然數的和了。