动态规划

什么是动态规划

维基百科上的解释：动态规划(dp)是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。
我的理解：将原问题分解得到的各个子问题。在求解过程中，保存解决的子问题，在需要时可以轻松找出。这样就避免了大量的无意义的重复计算。再通俗一点的解释，爸爸让小明计算1+1+1+1+1+1的结果，小明不用加六次，小明前面计算过了1+1+1+1+1=5，那么直接计算5+1=6就可以了。

为什么用动态规划

• 解决重叠子问题，有时候如果没有采用合适的算法会造成重复处理子问题的现象。拿斐波那契数列来看什么是重复解决重复子问题

  int f(int n){if(n==0)    return 0;if(n==1)    return 1;else
      return f(n-1)+f(n-2);
  }

  经典的递归解决，但是如果当这个n很大的时候，这个程序很快就炸了。我们可以发现，这个代码重复处理了子问题。我们可以从下面给出的图来分析。
  
  从图中发现f(2)求了两次，这是没有必要的。我们可以脑补一下，如果这个n很大的话，那么这颗树会很大，而且会解决很多重复的问题，对于一个好的算法来说是不允许的。
  那么我们要做的就是避免重复解决重复子问题，很简单，我们把解决过的子问题标记一下，并存储一下结果，那么就可以避免了。
  代码如下

f[0] to f[n] =-1;
f[0]=1;f[1]=1;
int f(int n)
{
    if(f[n]!=-1)
    {
        return f[n];
    }
    a=f(n-1)+f(n-2);
    f[n]=a;
    return a;
}

这样的话就解决了重复子问题，但是对比之前，我们用了一个数组f来记录值，所以这也是空间换时间的一种策略，关于时空权衡后面我会继续阐述。
避免解决重复子问题这是动态规划的一个特点之一，动态规划采用了这种思想，这也是为什么dp高效的原因。有句话说的话，爆搜不够，dp来凑，确实有挺多爆搜的例子可以用dp来解决，会高效的很多。比如经典的0-1背包问题，最简单的方法爆搜，也就是枚举各种情况，每一个物品取和不取，这样下来枚举各种情况，如果物品很多的话，即使进行剪枝这棵树会非常庞大，而且会重复处理子问题。比如说当前的物品有取和不取两种，选了取之后，要对后面的物品进行0101组合，选了不取之后又要进行0101组合，显然这是重复。但是如果采用dp来做的话，会高效很多。

怎么用动态规划

动态规划需要满足下面要求

• 最优化原理，也就是局部最优将导致全局最优。比如在求一个有权图的最短路径，有一条A到D（A C E F D）的最短路径，这是全局最优，但是也是局部最优的，C 到D的最短路径之一一定是 （C E F D）,E到D的最短路径之一一定是(E　F D)。在采用dp的时候，要确定是否满足最优化原理，这是前提条件之一。如何确定是否满足最优化，需要自行进行证明。

• 无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。举个例子围棋具有无后向性。
  比如我们下围棋，现在有个局面，可能是随机摆成的，也可能是认真下成这样的，但是这不会影响我们下一步应该下的位置。也就是说历史信息不会影响我们以后的决策，当前的局面就是一个里程碑，就是对历史的总结，也是唯一影响未来的东西。再举个例子
  输10个字符，求到第5个字符的最长子序列 的结果 和，只输前面5个字符，求到第5个字符（最后一个）的结果一样。

动态规划解题

• 是否满足最优化原理和无后效性

• 写出状态转移方程
  概念性的东西确实比较抽象，当你做多类似的题目的时候，就会慢慢有感觉，然后再加以思考，就会恍然大悟。