图的基本定义与表示

什么是图？
思考：图书馆问题里，统计书有哪些人买？这些人还买了什么书？
图的应用：社交网络（人与人之间的关系连线；六度空间理论），最短路径问题，最小生成数问题

－图：

表示“多对多”的关系，把线性表和树全部包括在内；线性表是一对一的关系，树表示一对多关系；线性表和树都可以被认为是一种特殊的图。
树包含：
一组顶点：通常用V（Vertex）表示顶点集合；
一组边：通常用E（Edge）表示边的集合；
边是顶点对：（v，w）属于E，其中v，w属于V（双行线）；
有向边表示从v指向w的边（单行线）不能由w指向v；
不考虑重边（两个顶点之间如果是无向边 则默认只有一条）和自回路（对有向边 一定是从一个顶点指向另一个顶点，不能指向自己）

－图的抽象数据类型定义：

类型名称：图（Graph）
数据对象集：G（V，E）由一个非空的有限顶点集合V和一个有限边集合E组成。（可以没有边 但必须有顶点）
操作集：创建、插入（v的插入和e的插入）、遍历（深度优先或宽度优先）、计算最短距离、计算最小生成树等等

常用术语：无向图，有向图，（带权重的图）网络 等等

－怎么在程序中表示一个图：

邻接矩阵（用二维数组表示一个图）G [ N ] [ N ]：N个顶点从0到N－1编号，
G [ i ] [ j ] = 1或者0；若 < Vi , Vj > 是G中的边，则为1，否则为0。
得到二维数组矩阵，该矩阵特点：左斜线上为0，矩阵是对称的。这样有一半的空间是浪费的，所以我们可以用一个长度为
（N＋1）N／2一维数组代替。
对于网络，只要把 G [ i ] [ j ] 的值定义为边 的权重即可。此时Vi 和 Vj之间没有边该怎么表示？保留问题

邻接矩阵的好处：
直观便于理解；
方便检查任意一对顶点间是否存在边，方便找任一顶点的所有“邻接点”（有边直接相连的顶点）；
方便计算任一顶点的“度”（从该店发出的边数为“出度”，指向该店的边数为“入度”）；
无向图：对应行（或列）非0元素的个数
有向图：对应行非0元素的个数为“出度”，对应列非0元素的个数为“入度”
邻接矩阵的缺点：
存储稀疏图（点很多而边很少）时有大量无效元素，浪费空间；对稠密图（特别是完全图：任意两个顶点之间都有一条边）比较合适。
浪费时间：统计稀疏图中一共有多少条边

邻接表：G [ N ] 为指针数组，对应矩阵每行一个链表，只存非0元素
要够稀疏用邻接表才合算
特点：
方便找任一顶点所有的“邻接点”
节约稀疏图的空间：需要N个头指针＋2E个结点（每个结点至少2个域）
对无向图：方便计算任一顶点的“度”；对有向图：只能计算出度，计算入度需要构造“逆邻接表”（存指向自己的边）
表示一个图有很多方法 不仅上述两种