一个有趣的冷知识

问题：为什么给定节点个数的二叉树个数为卡特兰数

按照惯例，先解释一波什么是卡特兰数。

令h(0)=1,h(1)=1，卡特兰数满足递推式：
h(n)= h(0)h(n-1)+h(1)h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)*
例如：
h(2)=h(0)h(1)+h(1)h(0)=11+11=2
h(3)=h(0)h(2)+h(1)h(1)+h(2)h(0)=12+11+21=5
另类递推式：
h(n)=h(n-1)(4n-2)/(n+1);
递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
递推关系的另类解为：
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

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关于一颗二叉树，我们再数据结构中就学习过，通过二叉树的前序和中序遍历，能够确定唯一的一颗二叉树。而入栈序列其实就是二叉树的前序遍历序列，出栈序列就是二叉树的中序遍历序列，在入栈序列确定的情况下，对应的出栈序列有多少种呢？
emmmm，没错，就是卡特兰数，那么在已知前序中序的情况下，我们就能够确认唯一的一颗二叉树，所以，出栈序列的种数即为二叉树的数目了。