信息论笔记1

*本笔记选自吴军《信息论40讲》

重点：

1信息熵

2香农第一定律

信息熵就是要从N1个选项当中确定一个正确选项所要用的最小信息量。信息熵的提出者是信息理论先驱香农（Claude·Elwood·Shannon），计算方法如下：

信息熵 =

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理解起来也很简单，是每次将N1个选项分为两半，验证正确选项是否在其中一半，这一bit信息就能排除一半的选项，再将包含正确选项的一半拿来再次验证，如此往复就用最少的次数找到正确现象，而这个次数（也代表了信息量）正好就是。

在信息编码中，所有的编码进制都有相同的信息熵。比如表示100以内的数，无论是用100个不同的符号来表示，还是用2个十进制数来组合表示，两种编码一个字符的信息量相同，因为这个量是由信息熵本身来决定的。

简单的计算下：确定100以内的只用一个符号即可，也就是说这一个字符就代表了猜中100数中1个数的信息量。也就是

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而这个信息量等于

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后者正好是两个十进制字符的组合，也就是第二种表达方式。

尽管不同的编码方式所体现的信息量相同，但这里面仍然有一个编码有效性的问题。这就是著名的香农第一定律：

编码长度≥信息熵（信息量）/每个代码的信息量

如果我们把进制减小，就会增加编码长度，不利于使用。而理论上存在最优的编码方式，这个编码方式的存在性由香农给出了详细的数学证明，在这里不详细介绍。