提升方法

提升方法 AdaBoost 算法
AdaBoost算法的训练误差分析
AdaBoost算法的解释
提升树

提升（boosting）方法是一种常用的统计学习方法，应用广泛且有效。在分类问题中，它通过改变训练样本的权重，学习多个分类器，并将这些分类器进行线性组合，提高分类的性能。

提升方法 AdaBoost 算法

提升方法基于这样一种思想：对于一个复杂任务来说，将多个专家的判断进行适当的综合所得出的判断，要比其中任何一个专家单独的判断好。实际上，就是“三个臭皮匠顶个诸葛亮”的道理。
对于分类问题而言，给定一个训练样本集，求比较粗糙的分类规则（弱分类器）要比求精确的分类规则（强分类器）容易得多。提升方法就是从弱学习算法出发，反复学习，得到一系列弱分类器（又称为基本分类器），然后组合这些弱分类器，构成一个强分类器。大多数的提升方法都是改变训练数据的概率分布（训练数据的权值分布），针对不同的训练数据分布调用弱学习算法学习一系列弱分类器。
这样，对提升方法来说，有两个问题需要回答：一是在每一轮如何改变训练数据的权值或概率分布；二是如何将弱分类器组合成一个强分类器。关于第1个问题，AdaBoost的做法是，提高那些被前一轮弱分类器错误分类样本的权值，而降低那些被正确分类样本的权值。这样一来，那些没有得到正确分类的数据，由于其权值的加大而受到后一轮的弱分类器的更大关注。于是，分类问题被一系列的弱分类器“分而治之”。至于第2个问题，即弱分类器的组合，AdaBoost采取加权多数表决的方法。具体地，加大分类误差率小的弱分类器的权值，使其在表决中起较大的作用，减小分类误差率大的弱分类器的权值，使其在表决中起较小的作用。
现在叙述 AdaBoost 算法。假设给定一个二类分类的训练数据集

其中，每个样本点由实例与标记组成。实例，标记，是实例空间，是标记集合。
输出：最终分类器

1>> 初始化训练数据的权值分布

2>> 对
a>> 使用具有权值分布的训练数据集学习，得到基本分类器

假设训练数据集具有均匀的权值分布，即每个训练样本在基本分类器的学习中作用相同。
b>> 计算在训练数据集上的分类错误率

在加权的训练数据集上的分类误差率是被误分类样本的权值之和，由此可以看出数据权值分布与基本分类器的分类误差率的关系。
c>> 计算的系数

这里的对数是自然对数。当时，，并且随着的减小而增大，所以分类误差率越小的基本分类器在最终分类器中的作用越大。
d>> 更新训练数据集的权值分布

这里是规范化因子

它使成为一个概率分布。
也可以写成

由此可知，被基本分类器误分类样本的权值得以扩大，而被正确分类样本的权值却得以缩小。两相比较，误分类样本的权值被放大倍。因此，误分类样本在下一轮学习中起更大的作用。不改变所给的训练数据，而不断改变训练数据权值的分布，使得训练数据在基本分类器的学习中起不同的作用，这是AdaBoost的一个特点。

3>> 构建基本分类器的线性组合

得到最终分类器

线性组合实现 M 个基本分类器的加权表决。系数表示了基本分类器的重要性，这里，所有之和并不为1。 的符号决定实例的类，的绝对值表示分类的确信度。利用基本分类器的线性组合构建最终分类器是 AdaBoost 的另一特点。

AdaBoost算法的训练误差分析

AdaBoost 最基本的性质是它能在学习过程中不断减少训练误差，即在训练数据集上的分类误差率。AdaBoost 算法最终分类器的训练误差界为

证明：
当时，，因而。因此可直接推导出前半部分。
现推导后半部分如下
$\begin{array} \ \frac{1}{N} \sum_i exp(-y_if(x_i)) & = & \frac{1}{N} \sum_i exp(-\sum_{m=1}^M\alpha_my_iG_m(x_i)) \\ & = & \frac{1}{N} \sum_i \prod_{m=1}^M exp(-\alpha_my_iG_m(x_i))\\ & = & \sum_i \omega_{1i} \prod_{m=1}^M exp(-\alpha_my_iG_m(x_i)) \\ & = & \sum_i \frac{\omega_{2i} Z_m}{exp(-\alpha_1y_iG_1(x_i))}\prod_{m=1}^M exp(-\alpha_my_iG_m(x_i)) \\ & = & Z_1\sum_i \omega_{2i} \prod_{m=2}^M exp(-\alpha_my_iG_m(x_i)) \\ & = & Z_1Z_2 \sum_i \omega_{3i} \prod_{m=3}^M exp(-\alpha_my_iG_m(x_i)) \\ & ... \\ & = & Z_1Z_2\cdot\cdot\cdot Z_{m-1}\sum_i\omega_{Mi}exp(\alpha_My_iG_M(x_i)) \\ & = & \prod_{m=1}^MZ_m \end{array}$
这一定理说明，可以在每一轮选取适当的使得最小，从而使训练误差下降最快。
二类分类问题 AdaBoost 的训练误差界

这里。
证明：
$\begin{array} \ Z_m & = & \sum_{i=1}^N\omega_{mi}exp(-\alpha_my_iG_m(x_i)) \\ & = & \sum_{y_i = G_m(x_i)} \omega_{mi}e^{-\alpha_m} + \sum_{y_i \neq G_m(x_i)} \omega_{mi}e^{\alpha_m} \\ & = & (1-e_m)e^{-\alpha_m} + e_me^{\alpha_m} \\ & = & \sqrt{(1-e_m)^2e^{-\frac{1-e_m}{e_m}} + e_m^2e^{\frac{1-e_m}{e_m}}+2e_m(1-e_m)} \\ & = & 2\sqrt{e_m(1-e_m)} \\ & = & \sqrt{1-4\gamma_m^2} \end{array}$
至于不等式

可先由和在点的泰勒展开式推出进而得到。
二类分类问题,如果存在，对所有有，则

这表明在此条件下 AdaBoost 的训练误差是以指数速率下降的。
AdaBoost 具有适应性，即它能适应弱分类器各自的训练误差率。这也是它的名称（适应的提升）的由来，Ada 是Adaptive 的简写。

AdaBoost算法的解释

AdaBoost 算法还有另一个解释，即可以认为 AdaBoost 算法是模型为加法模型、损失函数为指数函数、学习算法为前向分步算法时的二类分类学习方法。
考虑加法模型

其中，为基函数，为基函数的参数，为基函数的系数。
在给定训练数据及损失函数的条件下，学习加法模型成为经验风险极小化即损失函数极小化问题：

通常这是一个复杂的优化问题。前向分步算法（forward stagewise algorithm）求解这一优化问题的想法是：因为学习的是加法模型，如果能够从前向后，每一步只学习一个基函数及其系数，逐步逼近优化目标函数式，那么就可以简化优化的复杂度。具体地，每步只需优化如下损失函数：
前向分步算法
输入：训练数据集，损失函数；基函数集；
输出：加法模型。
1>> 初始化
2>> 对
a>> 极小化损失函数

得到参数
b>> 更新

3>> 得到加法模型

这样，前向分步算法将同时求解从到所有参数的优化问题简化为逐次求解各个的优化问题。
AdaBoost 算法是前向分歩加法算法的特例。这时，模型是由基本分类器组成的加法模型，损失函数是指数函数。

提升树

提升树是以分类树或回归树为基本分类器的提升方法。提升树被认为是统计学习中性能最好的方法之一。
以决策树为基函数的提升方法称为提升树（boosting tree）。对分类问题决策树是二叉分类树，对回归问题决策树是二叉回归树。
提升树模型可以表示为决策树的加法模型

其中，表示决策树；为决策树的参数；为树的个数。
提升树算法采用前向分步算法。首先确定初始提升树，第步的模型是

其中，为当前模型，通过经验风险极小化确定下一颗决策树的参数，

由于树的线性组合可以很好地拟合训练数据，即使数据中的输入与输出之间的关系很复杂也是如此，所以提升树是一个高功能的学习算法。
已知一个训练数据集，，。在决策树部分已经讨论了回归树问题。如果将输入空间划分为个互不相交的区域，并且在每个区域上确定输出的常量，那么树可以表示为

其中，参数表示树的区域划分和各区域上的常数。是回归树的复杂度即叶结点个数。
回归问题提升树使用以下前向分步算法：

在前向分步算法的第 m 步，给定当前模型，需求解

得到，即第 m 棵树的参数。
当采用平方误差损失函数时，

其损失变为

这里，是当前模型拟合数据的残差（residual）。所以，对回归问题的提升树算法来说，只需简单地拟合当前模型的残差。这样，算法是相当简单的。
回归问题的提升树算法
输入：训练数据集，，；
输出：提升树。
1>> 初始化
2>> 对
a>> 计算残差
b>> 拟合残差学习一个回归树，得到
c>> 更新
3>> 得到回归提升树
提升树利用加法模型与前向分歩算法实现学习的优化过程。当损失函数是平方损失和指数损失函数时，每一步优化是很简单的。但对一般损失函数而言，往往每一步优化并不那么容易。针对这一问题，Freidman提出了梯度提升（gradient boosting）算法。这是利用最速下降法的近似方法，其关键是利用损失函数的负梯度在当前模型的值

作为回归问题提升树算法中的残差的近似值，拟合一个回归树。
梯度提升算法
输入：训练数据集，，；损失函数；
输出：回归树。
1>> 初始化

估计使损失函数极小化的常数值，它是只有一个根结点的树。
2>> 对
a>> 对，计算

计算损失函数的负梯度在当前模型的值，将它作为残差的估计。对于平方损失函数，它就是通常所说的残差；对于一般损失函数，它就是残差的近似值。
b>> 对拟合一个回归树，得到第 m 棵树的叶结点区域，
估计回归树叶结点区域，以拟合残差的近似值。
c>> 对，计算

利用线性搜索估计叶结点区域的值，使损失函数极小化。
d>> 更新
3>> 得到回归树

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