相对论浅说(二).洛伦兹变换和质能方程

3. 洛伦兹变换和质能方程是怎么推导的?

请注意【数学公式也是一种语言，比自然语音更为表达准确的语言】

洛伦兹变换的核心是光速不变原理，以及时空均匀性。前者由光干涉实验的零结果证实，后者确保洛伦兹变换是线性变换。洛伦兹变换包含6个情况，即3个空间转动和3个时空转动boost。boost就是教科书上常见的那种形式。下面主要讲boost这种情况。我这里找到别人关于变换公式的一个参考文献(英文版)pdf下载。而且我们还可以把沿着任意单位方向n运动的洛伦兹变化公式求解出来，这个公式求解过程可以参考此处洛伦兹变换词条。注意到这个公式把一般的洛伦兹变换给出来了，它是一种3+1形式，3维空间和1维时间。之后的任意个四维矢量形如(t,r)都可以由这个公式套用。

沿着n单位向量方向以速度v运动的洛伦兹变换

我们常常会遇到运用洛伦兹变换求解各种奇怪的问题，总是觉得在一个参考系的物理量变到另一个参考系会“相对来相对去”地收缩膨胀效应，如时间和长尺，会把自己搞混乱。我们尽量用四维语言来表述。例如求解下面的速度变换公式。如图，男孩观察一个物体以速度u运动，女孩观察该物体以速度u'运动，女孩相对男孩沿着任一方向以速度v运动。不考虑相对论效应，u'=u-v。注意速度是个矢量，带有方向。

图片来自维基百科

但是考虑相对论效应女孩观察到的速度u'为

其中的洛伦兹因子是

这个公式用四维语言计算比较方便。首先定义4维速度

四维速度是由四维时空坐标对固有时求导

三维速度定义和固有时与时间坐标的关系如下，可最终得到四维速度表达式。

四维速度形如3+1形式的表达

前面已经说过我们对任何形如4维矢量(t,r)可套用洛伦兹变换形式。这里男孩参考系为静止参考系，即男孩静止，观察物体的4维速度为(γ0,γ0 u),女孩参考系内的物体4维速度为(γ'，γ'u')。那么

还有的问题需要借助时空图来解决。如图，在光锥内是低于光速运动的事件，这些事件的时空轨迹靠近时间坐标轴，被称为类时(timelike)事件，光锥面上是光速运动，被称为类光事件(lightlike)，光锥外是超光速运动的事件，事件的时空轨迹靠近空间坐标轴的，被称为类空事件(spacelike)。

时空图

这种解题方式详见于梁灿彬《微分几何入门与广义相对论》上册，讨论狭义相对论的那一章节。如果有兴趣可以看看。

接下来我们要讨论质能方程E=mc^2。同样采用四维语言。定义四维动量

四维动量

我们要定义4维矢量的内积是3正1负的运算法则。这个法则来源于时空中的长度定义加上了时间一维，X=(t,x,y,z)的内积=s^2=-t^2+x^2+y^2+z^2。这个长度是不会因为坐标变换而改变的，因为它是一个标量。标量，矢量，张量，旋量是不同数学概念。其中只有标量是坐标变换不变量。为什么呢？因为坐标变换对实际物理量不会有影响，只会对它的数学表达式有影响，坐标变换实质上选择了不同的向量基底。标量是不需要向量基底来表示，它只是一个数。同样地我们定义4维动量的内积

4维动量的内积

其中

那么通过简单计算，有

那么这里的动量和能量为什么可以被四维动量(E,p)定义出来？因为这个能量动量与牛顿动力学定义不完全一样。当物体静止，即p=0,我们很自然地得到质能方程。也许有人觉得这像是事后诸葛亮，恰好凑出这个结果。其实不是的。现在我们的思路是4维语言化的，是很数学的。

一旦有了数学结果，我们于是尽可能地挖掘它可行的物理含义。方法是通过取极限或取近似，让它回到已知的认识上。那么我们就说我们推广了原有的理论，而且也可在推广之上得到新的结果。

所以不妨尝试从上面的公式取低速近似，可以得到E=½mv^2+mc^2。同样地道理，我们为什么觉得广义相对论在牛顿引力上推广呢，而且坚信广义相对论的基本方程是正确的?那就看下一章内容吧。

【附录】洛伦兹变换推导

为了公式显示方便，我把推导过程弄成图片格式

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之后可能的内容

4. 广义相对论的基本方程是什么？

5.如何求解广义相对论的黑洞解?

6.广义相对论对水星进动是如何解释?

7. 现在为什么又要修改广义相对论?

8.  双生子佯谬和《星际穿越》中的年龄问题是一回事吗?”