严格次小生成树

题目描述

小C最近学了很多最小生成树的算法，Prim算法、Kurskal算法、消圈算法等等。正当小C洋洋得意之时，小P又来泼小C冷水了。小P说，让小C求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的。

这下小 C 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。

输入格式

第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。 接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值为z。

输出格式

包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)

洛谷P4180

分析：看到这个题的第一眼想到的是枚举，把所有生成树枚举一遍求最小的，但是显然不行，因为数据有些大了。

想一下最小生成树的算法？Kurskal是通过每一次加最小边来实现最小树，所以我们考虑一下边。

对于一棵最小生成树而言，删去树上一边，再加上一条边维护树，就有可能构成次小生成树，为保证它是严格的，所以还要再判断这条边与删去的边是否相等。

现在我们考虑删边，如何保证删去边再加上边仍然是树呢？显然先加边，然后看这条边与其他边构成的环中，最大的那条边是多少，为什么要用最大边呢，因为要求的是次小生成树，在一个点附近，加完边后剩下的边一定大于等于加上的边，不然根据Kurskal不会把这条边加上，但这条边还有可能和加的边相等，所以在记录最大边的同时还要记录次大边。

删边和加边的问题解决了，接下来就是记录了，关于记录，使用lca是我没有想到的。

为什么要用lca呢？加边后构成的环，不考虑加的这条边的话，可以分成两部分，一是从边的from到lca，二是从边的to到lca，所以在跑倍增lca的同时（顺便）维护一下最大值和次大值。

最后就是计算了，计算的时候也是同上分两部分，记得判断最大值是不是和边权一样，如果是的话要用次大值。

  1 #include
  2 #include
  3 #include
  4 using namespace std;
  5 const int N=1e5+10;
  6 //前向星存边
  7 struct Edge{
  8     int to,from,next,val;
  9     bool isin;
 10     Edge(){isin=val=next=0;}
 11     bool operator < (const Edge &A)const {
 12         return val<A.val;
 13     }
 14 }e[N<<1],E[N*3];
 15 int len,Head[N];
 16 void Ins(int a,int b,int c){
 17     e[++len].to=b;e[len].val=c;
 18     e[len].next=Head[a];Head[a]=len;
 19 }
 20 //并查集+Kurskal
 21 int f[N],m,n;
 22 int find(int x){
 23     return f[x]==x?x:(f[x]=find(f[x]));
 24 }
 25 int ans=0x3f3f3f3f;long long tot=0;
 26 void Krs(){
 27     int cnt=1;
 28     sort(E+1,E+m+1);
 29     for(int i=1;cnt){
 30         int v=E[i].to,u=E[i].from;
 31         if(find(v)!=find(u)){
 32             cnt++;
 33             E[i].isin=1;
 34             tot+=E[i].val;//计算最小生成树
 35             Ins(u,v,E[i].val);
 36             Ins(v,u,E[i].val);
 37             f[find(v)]=find(u);
 38         }
 39     }
 40 }
 41 //倍增lca板子
 42 int dep[N],p[N][20],Max[N][20],Smax[N][20];
 43 void dfs(int x){
 44     for(int i=0;p[x][i];i++){
 45         p[x][i+1]=p[p[x][i]][i];
 46         Max[x][i+1]=max(Max[x][i],Max[p[x][i]][i]);
 47         //注意求次大的时候看看两段的最大值是不是相等，如果不判断的话
 48         //在最大值相等的时候，次大值会被更新为最大值
 49         if(Max[x][i]==Max[p[x][i]][i])    
 50             Smax[x][i+1]=max(Smax[x][i],Smax[p[x][i]][i]);
 51         else 
 52             Smax[x][i+1]=max(min(Max[x][i],Max[p[x][i]][i]),
 53                             max(Smax[x][i],Smax[p[x][i]][i]));
 54     }
 55     for(int i=Head[x];i;i=e[i].next){
 56         int v=e[i].to;
 57         if(v!=p[x][0]){
 58             dep[v]=dep[x]+1;
 59             Max[v][0]=e[i].val;
 60             Smax[v][0]=-1;
 61             p[v][0]=x;
 62             dfs(v);
 63         }
 64     }
 65 }
 66 //这段和lca板子一模一样
 67 int lca(int a,int b){
 68     if(dep[a]<dep[b])swap(a,b);
 69     int d=dep[a]-dep[b];
 70     for(int i=0;d;i++,d>>=1)
 71         if(d&1)a=p[a][i];
 72     if(a==b)return a;
 73     for(int i=18;i>=0;i--)
 74         if(p[a][i]!=p[b][i])
 75             a=p[a][i],b=p[b][i];
 76     return p[a][0];
 77 }
 78 //计算
 79 void calc(int u,int v,int w){
 80     int d=dep[u]-dep[v];//深度差，判断路径
 81     int m1=0,m2=0;
 82     for(int i=0;d;i++,d>>=1){
 83         if(d&1){//如果可以往上跳
 84             m2=max(m2,Smax[u][i]);//细节，先求次大值
 85             if(Max[u][i]>m1){//如果更新最大值，那么原来的最大值m1可能为新的次大值
 86                 m2=max(m2,m1);//判断次大值是否更新
 87                 m1=Max[u][i];//更新最大值
 88             }
 89         }
 90     }
 91     if(m1==w)ans=min(ans,w-m2);//如果最大值与边相等，用次大值更新
 92     else ans=min(ans,w-m1);//否则用最大值
 93 }
 94 int main(){
 95 //    freopen("a.txt","r",stdin);
 96     scanf("%d%d",&n,&m);
 97     for(int i=1;i<=n;i++)
 98         f[i]=i;
 99     for(int i=1;i<=m;i++)
100         scanf("%d%d%d",&E[i].from,&E[i].to,&E[i].val);
101     Krs();
102     dfs(1);
103     for(int i=1;i<=m;i++){
104         if(!E[i].isin){
105             int u=E[i].from,v=E[i].to,Lca;
106             Lca=lca(u,v);
107             calc(u,Lca,E[i].val);
108             calc(v,Lca,E[i].val);
109         }
110     }
111     printf("%lld\n",tot+ans);
112 }