【计算几何】线段相交

问题描述：已知两条线段P1P2和Q1Q2，判断P1P2和Q1Q2是否相交，若相交，求出交点。

两条线段的位置关系可以分为三类：有重合部分、无重合部分但有交点、无交点。

算法的步骤如下：

1.快速排斥实验。

设以线段P1P2为对角线的矩形为R，设以线段Q1Q2为对角线的矩形为T，如果R和T不相交，则两线段不相交。

2.跨立实验。

如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方。

若P1P2跨立Q1Q2，则矢量(P1-Q1)和(P2-Q1)位于矢量(Q2-Q1)的两侧，即( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) < 0。

若Q1Q2跨立P1P2，则矢量(Q1-P1)和(Q2-P1)位于矢量(P2-P1)的两侧，即( Q1 - P1 ) × ( P2 - P1 ) * ( Q2 - P1 ) × ( P2 - P1 ) < 0。

排斥实验和跨立实验的示例如下图所示。

 

3.计算交点。

当判定两条线段相交后，可以进行交点的求解，求交点可以用平面几何方法，列点斜式方程来完成。但由于点斜式方程难以处理斜率为0的特殊情况，不方便求解。因而，参用向量法求解交点。

设交点为(x0,y0)，则下列方程组成立：

根据以上方程组，消除参数k1和k2，得到如下方程：

然后求解(x0,y0)，结果如下所示：

 1 typedef struct Point

 2 {

 3     int x;

 4     int y;

 5 }Point;

 6 //排斥实验

 7 bool IsRectCross(const Point &p1,const Point &p2,const Point &q1,const Point &q2)

 8 {

 9     bool ret = min(p1.x,p2.x) <= max(q1.x,q2.x)    &&

10                 min(q1.x,q2.x) <= max(p1.x,p2.x) &&

11                 min(p1.y,p2.y) <= max(q1.y,q2.y) &&

12                 min(q1.y,q2.y) <= max(p1.y,p2.y);

13     return ret;

14 }

15 //跨立判断

16 bool IsLineSegmentCross(const Point &pFirst1,const Point &pFirst2,const Point &pSecond1,const Point &pSecond2)

17 {

18     long line1,line2;

19     line1 = pFirst1.x * (pSecond1.y - pFirst2.y) +

20         pFirst2.x * (pFirst1.y - pSecond1.y) +

21         pSecond1.x * (pFirst2.y - pFirst1.y);

22     line2 = pFirst1.x * (pSecond2.y - pFirst2.y) +

23         pFirst2.x * (pFirst1.y - pSecond2.y) + 

24         pSecond2.x * (pFirst2.y - pFirst1.y);

25     if (((line1 ^ line2) >= 0) && !(line1 == 0 && line2 == 0))

26         return false;

27 

28     line1 = pSecond1.x * (pFirst1.y - pSecond2.y) +

29         pSecond2.x * (pSecond1.y - pFirst1.y) +

30         pFirst1.x * (pSecond2.y - pSecond1.y);

31     line2 = pSecond1.x * (pFirst2.y - pSecond2.y) + 

32         pSecond2.x * (pSecond1.y - pFirst2.y) +

33         pFirst2.x * (pSecond2.y - pSecond1.y);

34     if (((line1 ^ line2) >= 0) && !(line1 == 0 && line2 == 0))

35         return false;

36     return true;

37 }

38 

39 bool GetCrossPoint(const Point &p1,const Point &p2,const Point &q1,const Point &q2,long &x,long &y)

40 {

41     if(IsRectCross(p1,p2,q1,q2))

42     {

43         if (IsLineSegmentCross(p1,p2,q1,q2))

44         {

45             //求交点

46             long tmpLeft,tmpRight;

47             tmpLeft = (q2.x - q1.x) * (p1.y - p2.y) - (p2.x - p1.x) * (q1.y - q2.y);

48             tmpRight = (p1.y - q1.y) * (p2.x - p1.x) * (q2.x - q1.x) + q1.x * (q2.y - q1.y) * (p2.x - p1.x) - p1.x * (p2.y - p1.y) * (q2.x - q1.x);

49 

50             x = (int)((double)tmpRight/(double)tmpLeft);

51 

52             tmpLeft = (p1.x - p2.x) * (q2.y - q1.y) - (p2.y - p1.y) * (q1.x - q2.x);

53             tmpRight = p2.y * (p1.x - p2.x) * (q2.y - q1.y) + (q2.x- p2.x) * (q2.y - q1.y) * (p1.y - p2.y) - q2.y * (q1.x - q2.x) * (p2.y - p1.y); 

54             y = (int)((double)tmpRight/(double)tmpLeft);

55             return true;

56         }

57     }

58     return false;

59 }