母函数知识点

  学了好长时间母函数了，一直没时间进行总结（忙于一些琐事），今天正好放一天假，趁空闲，对母函数做个总结，以便以后更加方便学习。

进入主题：

       我对母函数的理解是，母函数，顾名思义，就是母亲，那就说明，在这个函数里面还有儿子，即子函数。说白了，就是子函数可以看作是母函数的一个子集。

而如何把这些子函数用一个母函数来表示呢？即所谓的通项公式，我个人觉的这是问题的症结之处，解决了这一症结，那么，后面的问题就容易多了。

下面我来谈谈怎么来求解母函数：

       看过许多有关母函数的资料，介绍母函数的思想基本一样，我这里就通俗理解为：母函数就是一个多项式前面的系数的一个整体的集合，而子函数就是这个多项式每一项前面的系数。

        那么，在碰到问题时，我们如何区分它是不是要用母函数来求解？如果用到母函数，那么需要什么样的母函数来求解？母函数是用来解决哪种类型的问题？ 

         我想这是包括我在内的很多初次接触母函数的朋友所关心的问题。

下面我来逐一做出解答：

1. 什么样的题型适合用母函数

      母函数有普通型的，也有指数型的。而我们通常在做题当中碰到的大多是普通型的，指数型的较少，主要用来求解多重排列的题型（我至今未涉及到有关指数型的母函数，希望读者提议，若以后碰到，我会加以补充），接下来，我重点说一下普通型母函数。

    普通型的可以用在求解组合以及整数拆分的题型中。

    例如，对于有n种物品，如果第i个物品有ki个，我们可以列式n个项相乘 (x^0+x^1+...x^k1)*(x^0+x^1+...x^k2)*...*(x^0+x^1+...x^kn)，每一项表示对于第i件物品，可以有(x^0+x^1+...x^ki)中取法，【注意系数都为1，因为同种物品去i件，它的取法是1】多项相乘：因为取m件物品这件事实要分为对n种物品各取分别取1次【0~ki个】，  是组合计数的乘法原理， x^m 的系数是组合成m件物品的所有方案数.（可以参考hduacm课件）

整数拆分

 

1 #include"iostream"
2  using namespace std;
3  #define N 130
4  int a[N+1],b[N+1];
5  int main()
6 {
7 int n,i,j,k;
8 while(cin>>n&&n!=0)
9 {
10 for(i=0;i<=n;i++)
11 {a[i]=1;b[i]=0;}
12 for(i=2;i<=n;i++)
13 {
14 for(j=0;j<=n;j++)
15 for(k=0;k+j<=n;k+=i)
16 {
17 b[k+j]+=a[j];
18 }
19 for(j=0;j<=n;j++)
20 {
21 a[j]=b[j];b[j]=0;
22 }
23 }
24 cout<<a[n]<<endl;
25 }
26 return 0;
27
28 }

 

 

 

 

 

hdu2028

1 #include"iostream"
2  using namespace std;
3  #define N 50
4 #define M 26
5 int a[M+1],b[M+1],c1[N+1],c2[N+1];
6 int main()
7 {
8 int n,i,j,k,sum;
9
10 cin>>n;
11 while(n--)
12
13 {
14 sum=0;
15
16
17 for(i=0;i<26;i++)
18 {
19 cin>>a[i];
20 b[i]=i+1;
21 }
22 memset(c1,0,sizeof(c1));
23 memset(c2,0,sizeof(c2));
24 c1[0]=1;
25
26 for(i=0;i<26;i++)
27 {
28 for(j=0;j<=50;j++)
29 if(c1[j])
30 for(k=0;k+j<=50&&k<=a[i]*b[i];k+=b[i])
31
32 {
33 c2[k+j]+=c1[j];
34 }
35 for(j=0;j<=50;j++)
36
37 {c1[j]=c2[j];c2[j]=0;}
38 }
39 for(i=1;i<=50;i++)
40 sum+=c1[i];
41 cout<<sum<<endl;
42
43 }
44 return 0;
45 }

 

 

 

 

 

2，需要什么样的母函数来求解

       可以说不同的问题，有不同的解法，对于一道可以用母函数来求解的题而言，可能还有比母函数更简洁的方法，因人而异。不一定遇到组合类型的题型就要用组合函数，在这里我只是要通过一些例子来说明如果我们需要用母函数来求解，那么，该如何选定合适的母函数呢？

   母函数的框架基本一样，

如hdu2082,

  for(i=0;i<26;i++)
        {
            for(j=0;j<=50;j++)
            if(c1[j])
                 for(k=0k+j<=50&&k<=a[i]*b[i];k+=b[i])//关键
                    c2[k+j]+=c1[j];
                for(j=0;j<=50;j++)
              {

                c1[j]=c2[j];

                c2[j]=0;

               }
        }

       如hdu1028,

         for(i=2;i<=n;i++)
   {
             for(j=0;j<=n;j++)
                for(k=0;k+j<=n;k+=i)//关键
                   {
                     b[k+j]+=a[j];
                   }
                for(j=0;j<=n;j++)
               {
                   a[j]=b[j];b[j]=0;
                }
     }

注：根据题意，仔细分析，建立关系。